《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

已知 $ f(x) = ax^2 - 2x + 1 $。
(1)若 $ f(x) $ 在 $[0,1]$ 上单调，求实数 $ a $ 的取值范围；
(2)若 $ x \in [0,1] $，求 $ f(x) $ 的最小值 $ g(a) $。

答案： （1）(−∞,1
@@（2）g(a)=$\begin{cases}a-1,a\leq1\\ 1-\frac{1}{a},a＞1\end{cases}$

典例4
已知函数 $ f(x) = x^2 + 4ax $。
(1)若 $ f(x) $ 在区间 $[1,3]$ 上具有单调性，求实数 $ a $ 的取值范围；
(2)求 $ f(x) $ 在区间 $[a,a + 1]$ 上的最小值 $ g(a) $。

答案： （1）(−∞, - $\frac{3}{2}$]∪[ - $\frac{1}{2}$,+∞)
@@（2）g(a)=$\begin{cases}5a^{2}+6a+1,a\leq-\frac{1}{3}\\ -4a^{2},-\frac{1}{3}＜a＜0\\ 5a^{2},a\geq0\end{cases}$

已知二次函数 $ f(x) = x^2 + bx - \frac{b}{2} + 1 $，设对任意的 $ x \in [b,b + 2] $，都有 $ f(x) ＞ 2 $ 恒成立，求实数 $ b $ 的取值范围。

答案： 实数b的取值范围为(−∞, - 2)∪($\frac{1 + \sqrt{33}}{8}$,+∞)

1. 若函数 $ f(x) = x^2 - 4x,x \in (0,1 $，则 $ f(x) $ 有（ ）

A.最小值为 $ -3 $
B.最大值 $ 0 $
C.最小值为 $ -4 $
D.最大值 $ -3 $

答案： 1.A

2. 已知二次函数 $ y = mx^2 - 2mx $（$ m $ 为常数），当 $ -1 \leq x \leq 2 $ 时，函数值 $ y $ 的最小值为 $ -2 $，则 $ m $ 的值是（ ）

A.$ -2 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $ 或 $ -\frac{2}{3} $
D.$ -1 $

答案： 2.C

3. 已知函数 $ y = x^2 - 2x + 3 $ 在闭区间 $[0,m]$ 上有最大值 $ 3 $，最小值 $ 2 $，则实数 $ m $ 的取值范围是（ ）

A.$1,+\infty)$
B.$[0,2]$
C.$(-\infty,2$
D.$[1,2]$

答案： 3.D

4. 已知函数 $ f(x) = 2x^2 - ax + a^2 - 4,g(x) = x^2 - x + a^2 - \frac{31}{4}(a \in \mathbf{R}) $，若 $ \forall x_1 \in [0,1],\exists x_2 \in [0,1] $，使得不等式 $ f(x_1) ＞ g(x_2) $ 成立，则实数 $ a $ 的取值范围是________。

答案： 4.(−∞,6)