《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

问题 2. 你能总结一下分层随机抽样的步骤吗？

答案：
问题导思
问题2.分层随机抽样的步骤:

 

典例 2
(链教材 P158 例 3)某单位有 2000 名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中的人数情况如表中所示：

(1)若要抽取 40 人调查身体状况，则应怎样抽样？
(2)若要开一个有 25 人参与的讨论单位发展与薪金调整方案的座谈会，则应怎样抽取出席人？

答案： 典例2 解：
(1)用分层随机抽样法，并按老年$40 × \frac{200}{2000}=4(人)$，中年$40 × \frac{600}{2000}=12(人)$，青年$40 × \frac{1200}{2000}=24(人)$抽取.
(2)用分层随机抽样法，并按管理$25 × \frac{160}{2000}=2(人)$，技术开发$25 × \frac{320}{2000}=4(人)$，营销$25 × \frac{480}{2000}=6(人)$，生产$25 × \frac{1040}{2000}=13(人)$抽取.

(1)某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有 2000 人，其中各种态度对应的人数如表所示：

电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出 100 人进行更为详细的调查，为此要进行按比例分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为( )

A.24，36，32，8
B.48，72，64，16
C.20，40，30，10
D.25，25，25，25

答案： 对点练2.
(1)A
(1)最喜爱组应抽取$100 × \frac{480}{2000}=24(人)$，喜爱组应抽取$100 × \frac{720}{2000}=36(人)$，一般组应抽取$100 × \frac{640}{2000}=32(人)$，不喜欢组应抽取$100 × \frac{160}{2000}=8(人)$.故选A.

(2)已知 A，B，C 三种不同型号的产品数量之比依次为 4∶3∶7，现用分层抽样的方法抽取容量为 N 的样本，若样本中 A 型号产品有 20 件，则 N 为( )

A.60
B.70
C.80
D.90

答案： 对点练2.
(2)B
(2)因为A，B，C三种不同型号的产品数量之比依次为$4:3:7$，且用分层抽样的方法抽取一个容量为$N$的样本，所以A型号产品被抽的抽样比为$\frac{4}{4+3+7}=\frac{2}{7}$，因为样本中A型号产品有$20$件，所以$\frac{20}{N}=\frac{2}{7}$，解得$N=70$.故选B.

典例 3
（链教材 P158 例 5）一个单位有职工 500 人，其中不到 35 岁的有 125 人，35 岁至 49 岁的有 280 人，50 岁及 50 岁以上的有 95 人. 为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取 100 名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？

答案： 典例3 解：可以采用分层随机抽样来抽取样本，
(1)按年龄将$500$名职工分成三层：不到$35$岁的职工；$35$岁至$49$岁的职工；$50$岁及$50$岁以上的职工.
(2)确定每层抽取个体的数目.抽样比为$\frac{100}{500}=\frac{1}{5}$，
则在不到$35$岁的职工中抽取$125 × \frac{1}{5}=25(人)$；
在$35$岁至$49$岁的职工中抽取$280 × \frac{1}{5}=56(人)$；
在$50$岁及$50$岁以上的职工中抽取$95 × \frac{1}{5}=19(人)$.

为了解某市居民的生活状况，计划从该市居民中随机抽取 100 户进行调查. 该市居民按照收入水平可分为高、中、低三个层次，各层次居民所占比例分别为 20%，40%，40%. 应如何抽取才能得到比较客观的结论？

答案： 对点练3.解：为了使调查结果更具有代表性，应该采用分层随机抽样的方法进行调查.
具体抽样步骤如下：
①根据各层次居民所占比例，计算出各层次应抽取的户数.由于高、中、低三个层次居民所占比例分别为$20\%$，$40\%$，$40\%$，因此各层次应抽取的户数分别为$20$户、$40$户、$40$户.
②采用简单随机抽样的方法，从高、中、低三个层次中分别抽取$20$户、$40$户、$40$户居民进行调查.可以采用随机数法进行抽样，也可以采用其他简单随机抽样的方法.
③将各层次抽取的居民进行汇总，即可得到$100$户被调查居民的基本信息.
通过以上分层随机抽样的方法，可以更准确地了解该市居民的生活状况，同时也能够减小由于各层次居民比例不同而导致的误差.在调查过程中，需要注意保证各层次居民的代表性，避免出现偏态情况.