《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

问题1. 将指数式 $ M = a^p $，$ N = a^q $ 化为对数式，结合指数运算性质 $ MN = a^p a^q = a^{p + q} $ 能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)？
问题2. 结合问题1，若 $ \frac{M}{N} = \frac{a^p}{a^q} = a^{p - q} $，$ M^n = (a^p)^n = a^{np} (n \in \mathbf{R}) $，又能得到什么结论？

答案： 问题1.由$M = a^{p},N = a^{q}$得$p = \log_{a}M,q = \log_{a}N$。由$MN = a^{p + q}$得$p + q = \log_{a}(MN)$。从而得出$\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N(a ＞ 0$，且$a\neq1,M ＞ 0,N ＞ 0)$。问题2.将指数式$\frac{M}{N}=a^{p - q}$化为对数式，得$\log_{a}\frac{M}{N}=p - q=\log_{a}M - \log_{a}N(a ＞ 0$，且$a\neq1,M ＞ 0,N ＞ 0)$。由$M^{n}=a^{np}$，得$\log_{a}M^{n}=np = n\log_{a}M(n\in \mathbf{R})$。

典例 1（链教材 P102 例 1、例 2）计算：
（1）$ \log_5 \sqrt[3]{625} $；（2）$ \log_2 (32 × 4^2) $；（3）$ \log_5 35 - 2 \log_5 \frac{7}{3} + \log_5 7 - \log_5 \frac{9}{5} $。

答案： （1）原式$=\frac{1}{3}\log_{5}625=\frac{1}{3}\log_{5}5^{4}=\frac{4}{3}$。（2）原式$=\log_{2}32+\log_{2}4^{2}=5 + 4 = 9$。（3）原式$=\log_{5}(5×7)-2(\log_{5}7-\log_{5}3)+\log_{5}7-(\log_{5}9-\log_{5}5)=\log_{5}5+\log_{5}7 - 2\log_{5}7+2\log_{5}3+\log_{5}7 - 2\log_{5}3+\log_{5}5=2\log_{5}5 = 2$。

对点练 1.（1）求值：$ 2 \log_5 10 - \log_5 4 = $（ ）
A.1
B.$ \log_5 16 $
C.2
D.$ \log_5 96 $

答案： （1）C；（2）B

（2）已知 $ \log_8 3 = a $，$ \log_8 7 = b $，则 $ \log_8 \frac{3}{49} $ 的值为（ ）
A.$ a - b^2 $
B.$ a - 2b $
C.$ \frac{b^2}{a} $
D.$ \frac{a}{b^2} $

答案：

问题3. 根据对数的定义，你能用 $ \log_c a $，$ \log_c b $ 表示 $ \log_a b (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $；$ b ＞ 0 $；$ c ＞ 0 $，且 $ c \neq 1) $ 吗？

答案： 设$\log_{a}b = x$，则$a^{x}=b$，根据等式性质，两边同时取以$c$为底的对数仍相等，得$\log_{c}a^{x}=\log_{c}b$。所以$x\log_{c}a=\log_{c}b$，所以$x=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$，即$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$。