《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

1. (多选题)下列函数为对数函数的是( )

A.$ f(x) = \log_{(m - 1)}x $($ m ＞ 1 $，且 $ m \neq 2 $)
B.$ f(x) = \lg x^{3} $
C.$ f(x) = \ln x $
D.$ f(x) = \ln x + e $

答案： 1.AC 形如$y = \log_{a}x(a＞0$，且$a \neq 1)$的函数为对数函数，对于A，由$m ＞ 1$，且$m \neq 2$，可知$m - 1 ＞ 0$，且$m - 1 \neq 1$，故A符合题意；对于B，不符合题意；对于C，符合题意；对于D，不符合题意. 故选AC.

2. $ f(x) = \log_{2}x $ 的反函数是( )

A.$ y = a^{x} $
B.$ y = 2^{x} $
C.$ y = \log_{x}2 $
D.$ y = 4^{x} $

答案： 2.B 根据指数函数与对数函数的关系，可得函数$f(x) = \log_{2}x$的反函数为$y = 2^{x}$. 故选B.

3. 设 $ a = 3^{-0.2} $，$ b = \log_{2}0.2 $，$ c = \log_{2}3 $，则( )

A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ c ＞ b ＞ a $
C.$ a ＞ c ＞ b $
D.$ c ＞ a ＞ b $

答案： 3.D 因为$0 ＜ a = 3^{-0.2} ＜ 3^{0} = 1$，$b = \log_{2}0.2 ＜ \log_{2}1 = 0$，$c = \log_{2}3 ＞ \log_{2}2 = 1$，所以$c ＞ a ＞ b$. 故选D.

4. 若 $ \log_{2}(x + 1) \leq 0 $，则实数 $ x $ 的取值范围是______。

答案： 4.$(-1,0$ 由$\log_{2}(x + 1) \leqslant 0$可得$0 ＜ x + 1 \leqslant 1$，解得$-1 ＜ x \leqslant 0$，故实数$x$的取值范围为$(-1,0$.

问题. 在同一坐标系内画出函数 $ y = \log_{2}x $，$ y = \log_{\frac{1}{2}}x $，$ y = \log_{\frac{1}{3}}x $ 和 $ y = \log_{3}x $ 的图象，并说出函数图象从左到右的变化趋势和函数图象的共同特征.

答案：
问题.同一坐标系中函数的图象如图.

①$y=\log_2x$与$y=\log_3x$的图象从左到右是上升的，函数$y=\log_{\frac{1}{2}}x$和$y=\log_{\frac{1}{3}}x$的图象从左到右是下降的.
②图象都过定点$(1,0)$，函数的图象都在$y$轴的右侧，且向上向下无限延伸.

对数函数 $ y = \log_{a}x $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）的图象和性质

答案： 1. 定义域：
对于对数函数$y = \log_{a}x(a\gt0,a\neq1)$，根据对数函数的定义，真数$x\gt0$，所以定义域为$(0,+\infty)$。
2. 过定点：
令$x = 1$，则$y=\log_{a}1 = 0$（根据对数的性质$\log_{a}1 = 0(a\gt0,a\neq1)$），所以过定点$(1,0)$。
3. 函数值的正负：
当$a\gt1$时：
若$x\gt1$，根据对数函数$y = \log_{a}x(a\gt1)$的单调性（单调递增），$y=\log_{a}x\gt\log_{a}1 = 0$；
若$0\lt x\lt1$，$y=\log_{a}x\lt\log_{a}1 = 0$。
当$0\lt a\lt1$时：
若$x\gt1$，根据对数函数$y = \log_{a}x(0\lt a\lt1)$的单调性（单调递减），$y=\log_{a}x\lt\log_{a}1 = 0$；
若$0\lt x\lt1$，$y=\log_{a}x\gt\log_{a}1 = 0$。
4. 单调性：
当$a\gt1$时，在定义域$(0,+\infty)$上，对于任意的$x_{1}\lt x_{2}$，$y_{1}=\log_{a}x_{1}$，$y_{2}=\log_{a}x_{2}$，有$y_{1}\lt y_{2}$，所以$y = \log_{a}x(a\gt1)$是增函数；
当$0\lt a\lt1$时，在定义域$(0,+\infty)$上，对于任意的$x_{1}\lt x_{2}$，$y_{1}=\log_{a}x_{1}$，$y_{2}=\log_{a}x_{2}$，有$y_{1}\gt y_{2}$，所以$y = \log_{a}x(0\lt a\lt1)$是减函数。
故答案依次为：$(0,+\infty)$；$(1,0)$；$0$，$0$；$0$，$0$；增；减。

微思考
（1）底数 $ a $ 的取值与对数函数 $ y = \log_{a}x $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）的图象有什么关系？
（2）对数函数 $ y = \log_{a}x $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）与 $ y = \log_{\frac{1}{a}}x $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）有什么关系？

答案： [微思考]
(1)底数$a$与$1$的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当$a＞1$时，对数函数的图象“上升”；当$0＜a＜1$时，对数函数的图象“下降”.
(2)在同一坐标系内，$y=\log_ax(a＞0$，且$a\neq1)$的图象与$y=\log_{\frac{1}{a}}x(a＞0$，且$a\neq1)$的图象关于$x$轴（即直线$y=0$）对称.