《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

(1)(多选题)已知函数 $ f(x)=|2^{x}-4|-a $ 恰有两个零点，则实数 $ a $ 可以是( )

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案：

(1)ABC
(1)函数$f(x)=\vert2^{x}-4\vert - a$有两个零点，则$y=\vert2^{x}-4\vert$，$y = a$的图象有两个交点，画出函数$g(x)=\vert2^{x}-4\vert$和$y = a$的图象，如图所示，结合图象可知$0 ＜ a ＜ 4$.故选ABC.

(2)设 $ x_{1},x_{2},x_{3} $ 均为实数，且 $ \left(\dfrac {1}{3}\right)^{x_{1}}=\log _{2}(x_{1}+1) $，$ \left(\dfrac {1}{3}\right)^{x_{2}}=\log _{3}x_{2} $，$ \left(\dfrac {1}{3}\right)^{x_{3}}=\log _{2}x_{3} $，则( )

A.$ x_{1}\lt x_{3}\lt x_{2} $
B.$ x_{3}\lt x_{2}\lt x_{1} $
C.$ x_{1}\lt x_{2}\lt x_{3} $
D.$ x_{3}\lt x_{1}\lt x_{2} $

答案：

(2)A
(2)由题意得$x_{1},x_{2},x_{3}$分别是函数$y = (\frac{1}{3})^{x}$与$y=\log_{2}(x + 1)$，$y=\log_{3}x$，$y=\log_{2}x$图象的交点横坐标.在同一坐标系内作出函数$y = (\frac{1}{3})^{x}$，$y=\log_{2}(x + 1)$，$y=\log_{3}x$，$y=\log_{2}x$的图象，如图所示，由图可得$x_{1}＜x_{3}＜x_{2}$.故选A.

典例 2
已知函数 $ f(x)=\log _{2}(1 - x)-\log _{2}(1 + x) $。
(1)判断 $ f(x) $ 的奇偶性；
(2)方程 $ f(x)=x + 1 $ 是否有根？如果有根 $ x_{0} $，请求出一个长度为 $ \dfrac {1}{4} $ 的区间 $ (a,b) $，使 $ x_{0}\in(a,b) $；如果没有，请说明理由。（注：区间 $ (a,b) $ 的长度 $ = b - a $）。

答案： 典例2 解：
(1)要使函数有意义，则$\begin{cases}1 - x ＞ 0,\\1 + x ＞ 0.\end{cases}$解得$-1 ＜ x ＜ 1$，故函数$f(x)=\log_{2}(1 - x)-\log_{2}(1 + x)$的定义域为$(-1,1)$，关于原点对称，又$f(-x)=\log_{2}(1 + x)-\log_{2}(1 - x)=-[\log_{2}(1 - x)-\log_{2}(1 + x)]=-f(x)$，所以$f(x)$为奇函数.
(2)由题意知方程$f(x)=x + 1$等价于$\log_{2}(1 - x)-\log_{2}(1 + x)=x + 1$，可化为$(1 + x)2^{x + 1}+x - 1 = 0,x\in(-1,1)$.设$g(x)=(1 + x)2^{x + 1}+x - 1,x\in(-1,1)$.则$g(-\frac{1}{2})=(1-\frac{1}{2})2^{-\frac{1}{2}+1}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}- \frac{1}{2}＜0$，$g(0)=2 - 1 = 1＞0$，所以$g(-\frac{1}{2})· g(0)＜0$，函数$g(x)$图象连续不断，故方程$f(x)=x + 1$在$(-\frac{1}{2},0)$上必有实根.
又$g(-\frac{1}{4})=\frac{3}{4}×2^{-\frac{1}{4}+1}-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt[4]{648}-\sqrt[4]{625}}{4}＞0$，所以$g(-\frac{1}{2})· g(-\frac{1}{4})＜0$，故方程$f(x)=x + 1$在$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$上必有实根.又区间长度$-\frac{1}{4}-(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$，所以满足题意的一个区间为$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$.

(1)下列函数中，不能用二分法求零点的是( )

A.$ f(x)=2x $
B.$ f(x)=x^{2}+2\sqrt {2}x + 2 $
C.$ f(x)=x+\dfrac {1}{x}-3 $
D.$ f(x)=\ln x + 3 $

答案：
(1)B
(1)对于A，$f(x)=2x$有唯一零点$x = 0$，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于B，$f(x)=x^{2}+2\sqrt{2}x + 2=(x+\sqrt{2})^{2}$有唯一零点$x = -\sqrt{2}$，但$y=(x+\sqrt{2})^{2}\geq0$恒成立，故不可用二分法求零点；对于C，$f(x)=x+\frac{1}{x}-3$有两个不同零点$x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；对于D，$f(x)=\ln x + 3$有唯一零点$x = e^{-3}$，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，故选B.

(2)用二分法求方程 $ \log _{4}x-\dfrac {1}{2x}=0 $ 的近似解时，所取的第一个区间可以是( )

A.$ (0,1) $
B.$ (1,2) $
C.$ (2,3) $
D.$ (3,4) $

答案：
(2)B
(2)令$f(x)=\log_{4}x-\frac{1}{2x}$，因为函数$y=\log_{4}x$，$y = -\frac{1}{2x}$在$(0,+\infty)$上都是单调递增的，所以函数$f(x)=\log_{4}x-\frac{1}{2x}$在$(0,+\infty)$上是单调递增的，$f(1)=-\frac{1}{2}＜0$，$f(2)=\log_{4}2-\frac{1}{2×2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}＞0$，所以函数$f(x)=\log_{4}x-\frac{1}{2x}$在区间$(1,2)$上有唯一零点，所以用二分法求方程$\log_{4}x-\frac{1}{2x}=0$的近似解时，所取的第一个区间可以是$(1,2)$.故选B.

典例 3
某地为确保蓝莓产业增产增收，种植基地科研小组研究发现：一亩蓝莓的产量 $ p $（单位：千克）与肥料费用 $ x $（单位：百元）满足关系 $ p = 1000\left(1-\dfrac {5}{x + 8}\right) $，且投入的肥料费用不超过 $ 14 $ 百元，此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）$ 4x $ 百元。已知蓝莓的市场售价为 $ 40 $ 元/千克，且市场需求始终供不应求。记一亩蓝莓获得的利润为 $ L(x) $（单位：百元）。
(1)求利润 $ L(x) $ 的函数关系式；
(2)当投入的肥料费用为多少时，一亩蓝莓获得的利润最大？最大利润是多少？

答案： 典例3 解：
(1)已知蓝莓的市场售价为40元/千克，即0.4百元/千克，$L(x)=0.4×1000(1-\frac{5}{x + 8})-5x=400-\frac{2000}{x + 8}-5x(0\leq x\leq14)$.
(2)$L(x)=400-\frac{2000}{x + 8}-5x=440-[\frac{2000}{x + 8}+5(x + 8)]\leq440 - 2\sqrt{\frac{2000}{x + 8}·5(x + 8)}=240$，当且仅当$\frac{2000}{x + 8}=5(x + 8)$，即$x = 12$时等号成立，所以当投入的肥料费用为12百元时，一亩蓝莓获得的利润最大，最大利润是240百元，即投入的肥料费用为1200元时，最大利润是24000元.