《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

问题 1. 观察下列三组方程与函数：

利用函数图象探究方程的根和函数图象与 $x$ 轴的交点之间的关系.
问题 2. 问题 1 中的方程的根是函数图象与 $x$ 轴交点的坐标吗？

答案： 方程$x^{2}-2x-3=0$的根为$-1,3$，函数$y=x^{2}-2x-3$的图象与$x$轴交于点$(-1,0),(3,0)$；方程$x^{2}-2x + 1 = 0$有两个相等的实数根，为$1$，函数$y=x^{2}-2x + 1$的图象与$x$轴有唯一交点$(1,0)$；方程$x^{2}-2x + 3 = 0$没有实数根，函数$y=x^{2}-2x + 3$的图象与$x$轴无交点.
@@不是，根不是点，根是函数图象与$x$轴交点的横坐标.

1. 定义：使得____的数 $x_{0}$ 称为方程 $f(x)=0$ 的解，也称为函数 $f(x)$ 的____.

答案： 1.$f(x_{0}) = 0$ 零点

2. 函数的零点、函数的图象与 $x$ 轴的交点、对应方程的解的关系：

答案： 2.$x$轴 $f(x)=0$

[微思考] 函数的零点是一个点吗？

答案： 不是。函数的零点是使函数值为$0$的自变量的值，是一个实数，而不是一个点。

典例 1
（1）函数 $y = x^{2}+3x + 2$ 的零点是 （ ）
A.$(1,0)$，$(2,0)$
B.$1$，$2$
C.$(-1,0)$，$(-2,0)$
D.$-1$，$-2$
 

答案： 典例1
(1)D
 
(1)令$y = x^{2}+3x + 2 = 0$，解得$x = -1,x = -2$，由零点定义可得函数$y = x^{2}+3x + 2$的零点是$-1,-2$.故选D.
 

（2）已知函数 $f(x)=\begin{cases}x^{2}-2|x|-3,x\geq - 4, \\ 2x + 13,x ＜ - 4,\end{cases}$ 则函数 $f(x)$ 的所有零点的和为____.
 

答案：
(2)当x⩾−4时，由f(x)=0可得x2−2∣x∣−3=0，所以(∣x∣−3)(∣x∣+1)=0，所以∣x∣=3，故x=±3；当x＜−4时，由f(x)=0可得2x+13=0，故x=−213​，则f(x)的零点有−213​,−3,3，则所有零点的和为−213​.