《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

问题2. 观察下列命题，它们是否为真命题？它们存在什么共同特点呢？
(1)有一个偶数是素数；
(2)有些三角形是直角三角形；
(3)存在实数x，使得x² + x - 1 = 0.

答案： 问题2.
(1)
(2)
(3)都是真命题；命题中的“有一个”“有些”“存在”都有表示个别或一部分的含义。

存在量词与存在量词命题

[微提醒]（1）常见的存在量词还有“对某些”“有的”等.（2）存在量词命题含有存在量词，有些存在量词命题中的存在量词是省略的，理解时需要把它补充出来.

答案： 1. 第一个空：
根据定义，在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题。
2. 第二个空：
在命题中，诸如“存在一个”“至少有一个”这样的词叫作存在量词，用符号“$\exists$”表示，读作“存在”。
故答案依次为：存在量词命题；“存在一个”“至少有一个”；存在量词；$\exists$。

典例2（链教材P20例5）判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词，并判断其真假：
（1）实数都能写成小数；
（2）在实数集内，有些一元二次方程无解；
（3）在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直；
（4）存在一个自然数n，使代数式n² - 2n + 2的值是负数.

答案： 典例2 解：
(1)不是。
(2)是；存在量词是“有些”；真命题。
(3)是；存在量词是“存在”；真命题。
(4)是；存在量词是“存在”；假命题。

对点练2.（1）（多选题）下列命题既是存在量词命题又是假命题的是（ ）

A.∃x∈R，x² - 3x + 5 ≤ 0
B.∃x∈R，x² - 3x + √2 ＞ 0
C.至少存在两个质数的平方是偶数
D.有些整数既能被2整除，又能被3整除

答案： 对点练2.
(1)AC
(1)对于A，是存在量词命题，是假命题，故A正确；对于B，∃x=3，$3^{2}-3×3+√2=√2＞0，$是真命题，故B错误；对于C，是存在量词命题.因为只有质数2的平方为偶数，所以不存在两个质数的平方是偶数，是假命题，故C正确；对于D，是存在量词命题，可表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.真命题，故D错误.故选AC.

（2）命题“有些负数满足不等式(1 + x)(1 - 9x) ＞ 0”用“∃”或“∀”可表述为.

答案： 对点练2.
(2)∃x＜0，使得(1+x)(1-9x)＞0

典例3已知集合A = {x | - 2 ≤ x ≤ 5}，B = {x | m + 1 ≤ x ≤ 2m - 1}，且B ≠ ∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围.
听课笔记：
变式探究
1.（变条件）把本例中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求实数m的取值范围.
2.（变条件，变设问）把本例中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
规律方法
依据含量词命题的真假求参数范围的方法
1. 根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意.
2. 根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围问题.

答案： 典例3 解：由于命题p:“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，因为B≠∅，所以$\begin{cases}m+1\leq2m-1,\\m+1\geq-2,\\2m-1\leq5,\end{cases} $解得$2\leq m\leq3. $即实数m的取值范围为${m|2\leq m\leq3}.$
@@[变式探究] 1.解：由于命题p:“∃x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以$m+1\leq2m-1，$即$m\geq2. $所以$\begin{cases}-2\leq m+1\leq5,\\-2\leq2m-1\leq5,\\m\geq2,\end{cases}$或$\begin{cases}-2\leq m+1\leq5,\\m\geq2,\\m\geq2,\end{cases} $解得$2\leq m\leq4. $即实数m的取值范围为${m|2\leq m\leq4}. 2.$解：若命题p:“∀x∈A，x∈B”是真命题， 则A⊆B，B≠∅， 所以$\begin{cases}m+1\leq2m-1,\\m+1\leq-2,\\2m-1\geq5,\end{cases}$无解， 所以不存在实数m，使命题p是真命题. 规律方法依据含量词命题的真假求参数范围的方法1. 根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意.2. 根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围问题.