《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

典例3 已知命题$p: \exists x \in \mathbf{R}$，$x^{2} + (m - 2)x + 1 = 0$；命题$q: \forall a ＞ 1$，$m + 2\sqrt{2} \leq a + \frac{1}{a - 1} + 2$。
(1)若命题$q$为真命题，求实数$m$的取值范围；
(2)若命题$p$为真命题，命题$q$为假命题，求实数$m$的取值范围。

答案： 典例3 解：
(1)因为命题$q$为真命题，$a＞1$，
所以$a+\frac{1}{a - 1}+2=a - 1+\frac{1}{a - 1}+3$
$\geq2\sqrt{(a - 1)·\frac{1}{a - 1}}+3 = 5$，
当且仅当$a - 1=\frac{1}{a - 1}$，即$a = 2$时，等号成立，
所以$m+2\sqrt{2}\leq5$，即$m\leq5 - 2\sqrt{2}$。
所以实数$m$的取值范围为$(-\infty,5 - 2\sqrt{2}$。
(2)由命题$p$为真命题，$\Delta=(m - 2)^{2}-4\geq0$，解得$m\leq0$，或$m\geq4$，
所以当命题$p$为真命题时$m\leq0$，或$m\geq4$，
又命题$q$为假命题时$m＞5 - 2\sqrt{2}$，
故$m$满足$\{m|m\leq0,或m\geq4\}\cap\{m|m＞5 - 2\sqrt{2}\}=\{m|m\geq4\}$。
所以实数$m$的取值范围为$\{m|m\geq4\}$。

对点练3. (1)命题“$\exists x \in \mathbf{Z}$，$7x^{2} - x ＜ 7$”的否定为（ ）

A.$\exists x \in \mathbf{Z}$，$7x^{2} - x \geq 7$
B.$\forall x \in \mathbf{Z}$，$7x^{2} - x \geq 7$
C.$\exists x \in \mathbf{Z}$，$7x^{2} - x ＞ 7$
D.$\forall x \in \mathbf{Z}$，$7x^{2} - x ＞ 7$

答案： 对点练3.
(1)B
(1)“$\exists x\in Z,7x^{2}-x＜7$”的否定为“$\forall x\in Z,7x^{2}-x\geq7$”。故选B。

(2)若命题$p: \forall x \in \mathbf{R}$，$x^{2} - 2x + m \neq 0$是真命题，则实数$m$的取值范围是（ ）

A.$\{ m | m \geq 1 \}$
B.$\{ m | m ＞ 1 \}$
C.$\{ m | m ＜ 1 \}$
D.$\{ m | m \leq 1 \}$

答案：
(2)B
(2)命题$p:\forall x\in R,x^{2}-2x + m\neq0$是真命题，则$m\neq-(x^{2}-2x)$，因
为$-(x^{2}-2x)=-(x - 1)^{2}+1\leq1$，所以$m＞1$。故选B。

典例4 (1)已知$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，求$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 2\sqrt{xy}$的最小值；
(2)已知正数$a$，$b$，$c$满足$a + b + c = 2$，求$\sqrt{ab} + \sqrt{bc}$的最大值。

答案： 典例4 解：
(1)因为$x＞0,y＞0$，
所以$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+2\sqrt{xy}\geq2\sqrt{\frac{1}{x}·\frac{1}{y}}+2\sqrt{xy}$
$\geq2\sqrt{2\sqrt{\frac{1}{xy}}·\sqrt{xy}} = 4$，
当且仅当$x = y = 1$时等号成立，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+2\sqrt{xy}$的最小值为$4$。
(2)因为正数$a,b,c$满足$a + b + c = 2$，
所以$2a + 2b + 2c = 4$，
即$(2a + b)+(b + 2c)=4$，
因为$2a + b\geq2\sqrt{2a· b},b + 2c\geq2\sqrt{b·2c}$，
所以$4\geq2\sqrt{2ab}+2\sqrt{2bc}$，
所以$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}\leq\sqrt{2}$，
当且仅当$2a = b = 2c$且$a + b + c = 2$，
即$a = c=\frac{1}{2},b = 1$时等号成立，
故$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}$的最大值为$\sqrt{2}$。

对点练4. (1)已知实数$a$，$b$满足$a ＞ 0$，$b ＞ 1$，且$a + b = 5$，则$\frac{2}{a} + \frac{1}{b - 1}$的最小值为（ ）
A.$\frac{3 + 2\sqrt{2}}{4}$
B.$\frac{3 + 4\sqrt{2}}{4}$
C.$\frac{3 + 2\sqrt{2}}{6}$
D.$\frac{3 + 4\sqrt{2}}{6}$

答案： 对点练4.
(1)A
 

(2)若正数$a$，$b$满足$a + b = 1$，则$\frac{1}{3a + 2} + \frac{1}{3b + 2}$的最小值为______。

答案：
(2)$\frac{4}{7}$