《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

(1) 下列命题中正确的是 ( )

A.若 $a ＞ b$,则 $\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$
B.若 $ac^2 ＞ bc^2$,则 $a ＞ b$
C.若 $a ＞ b,c ＞ d$,则 $a - c ＞ b - d$
D.若 $a ＞ b,c ＜ d$,则 $\frac{a}{c} ＞ \frac{b}{d}$

答案：
(1)B

(2) 已知 $a ＞ b ＞ 0,c ＜ d ＜ 0,e ＜ 0$,求证: $\frac{e}{a - c} ＞ \frac{e}{b - d}$.

答案：
(2)证明：因为$c＜d＜0$，所以$-c＞-d＞0$.又因为$a＞b＞0$，所以$a+(-c)＞b+(-d)＞0$，即$a-c＞b-d＞0$，所以$0＜\frac{1}{a-c}＜\frac{1}{b-d}$，又因为$e＜0$，所以$\frac{e}{a-c}＞\frac{e}{b-d}$.

典例 3
已知 $-1 ＜ x ＜ 4,2 ＜ y ＜ 3$.
(1) 求 $x - y$ 的取值范围;
(2) 求 $3x + 2y$ 的取值范围.
[变式探究]
1. (变条件) 若将本例条件改为 $-1 ＜ x + y ＜ 4,2 ＜ x - y ＜ 3$,求 $3x + 2y$ 的取值范围.
2. (变设问) 本例的条件不变,求 $\frac{x}{y}$ 的取值范围.
[规律方法] 利用不等式的性质求取值范围的策略
1. 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.
2. 同向不等式的两边可以相加,这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.
[注意] 求解这种不等式问题要特别注意不能简单地先分别求出单个变量的范围,再去求其他不等式的范围.

答案：
(1)$-4＜x-y＜2$；
(2)$1＜3x+2y＜18$
@@1.$-\frac{3}{2}＜3x+2y＜\frac{23}{2}$；2.$(-\frac{1}{2},2)$

已知实数 $a,b$ 满足 $1 \leq a + b \leq 8,3 \leq a - b \leq 4$.
(1) 求实数 $a,b$ 的取值范围;
(2) 求 $2a - 5b$ 的取值范围.

答案：
(1)实数$a$的取值范围为$[2,6]$，实数$b$的取值范围为$[-\frac{3}{2},\frac{5}{2}]$；
(2)$[-\frac{3}{2},\frac{25}{2}]$

(1) (多选题) 已知 $b$ 克糖水中含有 $a$ 克糖 $(b ＞ a ＞ 0)$,再添加 $m$ 克糖 $(m ＞ 0)$ (假设全部溶解),糖水变甜了. 能够表示这一事实的不等式是 ( )

A.$\frac{a + m}{b} ＜ \frac{a}{b}$
B.$\frac{b + m}{a} ＜ \frac{b}{a}$
C.$\frac{a + m}{b + m} ＞ \frac{a}{b}$
D.$\frac{b + m}{a + m} ＜ \frac{b}{a}$

答案：
(1)CD