《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

典例 1
（链教材 P114 例 6）求下列函数的定义域：
（1）$ f(x) = \lg(x - 2) + \frac{1}{x - 3} $；
（2）$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{\log_{0.5}(x - 1)}} $；
（3）$ y = \sqrt{\log_{a}(4x - 3)} $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）.

答案： 典例1 解：
(1)为使函数有意义，只需$\begin{cases}x - 2＞0,\\x - 3\neq0,\end{cases}$解得$x＞2$，且$x\neq3$，所以函数的定义域为$(2,3)\cup(3,+\infty)$.
(2)为使函数有意义，只需$\begin{cases}x - 1＞0,\\\log_{0.5}(x - 1)＞0,\end{cases}$解得$1＜x＜2$，所以函数的定义域为$\{x|1＜x＜2\}$.
(3)当$0＜a＜1$时，$0＜4x - 3\leq1\Rightarrow\frac{3}{4}＜x\leq1$，所以函数的定义域为$\{x|\frac{3}{4}＜x\leq1\}$；当$a＞1$时，$4x - 3\geq1\Rightarrow x\geq1$，所以函数的定义域为$\{x|x\geq1\}$.

函数 $ f(x) = \frac{\sqrt{2 - x}}{\lg x} $ 的定义域为（ ）

A.$ (-\infty, 2 $
B.$ (-\infty, 0) \cup (0, 2 $
C.$ (0, 2 $
D.$ (0, 1) \cup (1, 2 $

答案： D

典例 2
（1）如图，图象①②③④所对应的函数不属于 $ y = 2^{x} - \frac{1}{2} $，$ y = \log_{2}x $，$ y = \log_{\frac{1}{2}}x $ 中的一个是（ ）
A.①
B.②
C.③
D.④

答案： 典例2
(1)D
 

（2）函数 $ y = \log_{a}(x - 2) + 2 $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）的图象恒过定点（ ）

A.$ (2, 2) $
B.$ (3, 2) $
C.$ (3, 3) $
D.$ (2, 3) $

答案：
(2)B