《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

典例 3
（1）当 $x ＞ 0$ 时，求 $\frac{12}{x} + 4x$ 的最小值；
（2）当 $x ＞ 1$ 时，求 $x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值.
听课笔记：
变式探究
（变条件，变设问）本例（1）改为“当 $x ＜ 0$ 时，求 $\frac{12}{x} + 4x$ 的最大值”.

答案： 典例3 解：
(1)因为$x ＞ 0$，所以$\frac{12}{x} ＞ 0$，$4x ＞ 0$，所以$\frac{12}{x} + 4x \geqslant 2\sqrt{\frac{12}{x} · 4x} = 8\sqrt{3}$.当且仅当$\frac{12}{x} = 4x$，即$x = \sqrt{3}$时，等号成立，所以$x ＞ 0$时，$\frac{12}{x} + 4x$的最小值为$8\sqrt{3}$.
(2)因为$x ＞ 1$，所以$x - 1 ＞ 0$，所以$x + \frac{4}{x - 1} = x - 1 + \frac{4}{x - 1} + 1 \geqslant 2\sqrt{(x - 1) · \frac{4}{x - 1}} + 1 = 5$，当且仅当$x - 1 = \frac{4}{x - 1}$，即$x = 3$时，等号成立.所以$x + \frac{4}{x - 1}$的最小值为$5$.
@@[变式探究] 解：因为$x ＜ 0$，所以$-x ＞ 0$.则$\frac{12}{-x} + (-4x) \geqslant 2\sqrt{\frac{12}{-x} · (-4x)} = 8\sqrt{3}$，当且仅当$\frac{12}{-x} = -4x$，即$x = -\sqrt{3}$时，等号成立.所以$\frac{12}{x} + 4x \leqslant -8\sqrt{3}$.所以当$x ＜ 0$时，$\frac{12}{x} + 4x$的最大值为$-8\sqrt{3}$.

(1)下列函数中，$y$ 的最小值为 1 的是( )

A.$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{x}$
B.$y = x\sqrt{2 - x^2}$
C.$y = \sqrt{x^2 + 4} + \frac{1}{4\sqrt{x^2 + 4}}$
D.$y = x + \frac{1}{x + 1}(x ＞ -1)$

答案： 对点练3.
(1)D
(1)对于A，当$x ＜ 0$时，$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{x} ＜ 0$，故A错误；对于B，当$-\sqrt{2} ＜ x ＜ 0$时，$y = x\sqrt{2 - x^{2}} ＜ 0$，故B错误；对于C，$y = \sqrt{x^{2} + 4} + \frac{1}{4\sqrt{x^{2} + 4}} \geqslant 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 1$，当且仅当$\sqrt{x^{2} + 4} = \frac{1}{4\sqrt{x^{2} + 4}}$，此时$x^{2} + 4 = \frac{1}{4}$，无解，故等号取不到，因此最小值不是$1$，故C错误；对于D，因为$x ＞ -1$，所以$x + 1 ＞ 0$，故$y = x + \frac{1}{x + 1} = x + 1 + \frac{1}{x + 1} - 1 \geqslant 2 - 1 = 1$，当且仅当$x + 1 = \frac{1}{x + 1}$时，即$x = 0$时等号成立，故D正确.故选D.

(2)已知 $0 ＜ x ＜ \frac{1}{2}$，则 $x(1 - 2x)$ 的最大值为 .

答案： 对点练3.
(2)$\frac{1}{8}$
(2)由$0 ＜ x ＜ \frac{1}{2}$知$1 - 2x ＞ 0$，$x(1 - 2x) = \frac{1}{2} × 2x · (1 - 2x) \leqslant \frac{1}{2} × \left[ \frac{2x + (1 - 2x)}{2} \right]^{2} = \frac{1}{8}$，当且仅当$2x = 1 - 2x$，即$x = \frac{1}{4}$时取得等号，即$x(1 - 2x)$的最大值为$\frac{1}{8}$.

(1)已知 $a$，$b$ 为正实数，$A = \frac{a + b}{2}$，$\frac{2}{H} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$，$G = \sqrt{ab}$，则( )

A.$G \leq H \leq A$
B.$H \leq G \leq A$
C.$G \leq A \leq H$
D.$H \leq A \leq G$

答案： 典例4
(1)B
(1)因为$a,b$为正实数，所以$A = \frac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab} = G$，当且仅当$a = b$时，等号成立，$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \geqslant 2\sqrt{\frac{1}{a} · \frac{1}{b}} = \frac{2}{\sqrt{ab}}$，所以$H \leqslant \sqrt{ab}$，当且仅当$G = A$时，等号成立，综上：$H \leqslant G \leqslant A$.故选B.

(2)(多选题)若 $a ＞ b ＞ 0$，则下列不等式成立的是( )

A.$\frac{a + b}{2} ＞ \sqrt{ab}$
B.$\frac{2ab}{a + b} ＜ \frac{a + b}{2}$
C.$\frac{2ab}{a + b} ＞ \frac{a + b}{2}$
D.$\sqrt{ab} ＞ \frac{2ab}{a + b}$

答案： 典例4
(2)ABD
(2)由$a ＞ b ＞ 0$，得$\sqrt{ab} ＜ \frac{a + b}{2}$，即$\frac{a + b}{2} ＞ \sqrt{ab}$，所以$\frac{2\sqrt{ab}}{a + b} ＜ 1$，即$\frac{2ab}{a + b} ＜ \sqrt{ab}$，故选项A，B，D均成立.