《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

问题 1. 观察函数 $ f(x) = x $ 和 $ g(x) = \frac{1}{x} $ 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？

答案： 两个函数图象的共同特征是都关于原点对称。
用符号语言描述如下：
对于函数$f(x) = x$，有$f(-x) = -x = -f(x)$，所以$f(x)$是奇函数。
对于函数$g(x) = \frac{1}{x}$，有$g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$，所以$g(x)$是奇函数。

问题 2. 观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？

答案： 这两个函数图象的共同特征是关于$y$轴对称。
对于函数$f(x)=x^2$，定义域为$R$，关于原点对称，且$f(-x)=(-x)^2 = x^2=f(x)$。
对于函数$g(x)=2 - |x|$，定义域为$R$，关于原点对称，且$g(-x)=2 - |-x| = 2 - |x|=g(x)$。
用符号语言精确描述为：对于其定义域内的任意$x$，都有$f(-x)=f(x)$（$g(-x)=g(x)$），即函数$f(x)$（$g(x)$）是偶函数。

1. 奇函数、偶函数的定义

答案： 1. 对于奇函数：
定义：$f(-x)=-f(x)$；
图象特征：原点。
2. 对于偶函数：
定义：$f(-x)=f(x)$；
图象特征：$y$轴。
故答案依次为：$f(-x)=-f(x)$；$f(-x)=f(x)$；原点；$y$轴。

微思考
1. 奇、偶函数的定义域有什么特点？
2. 若奇函数 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处有定义，则 $ f(0) $ 的值是多少？
3. 若函数 $ y = f(x) $ 与 $ y = g(x) $ 的图象关于 $ y $ 轴对称，则 $ f(x) $，$ g(x) $ 是偶函数吗？

答案： 1. 关于原点对称；2. 0；3. 不一定