《2025年同步精练广东七年级数学上册北师大版》

11. 如图所示,将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置,则$\angle 1$,$\angle 2$,$\angle 3$三个角的数量关系为(A)

A.$\angle 1+\angle 2+\angle 3= 90^{\circ}$
B.$\angle 1+\angle 2-\angle 3= 90^{\circ}$
C.$\angle 1-\angle 2+\angle 3= 90^{\circ}$
D.$\angle 1+2\angle 2-\angle 3= 90^{\circ}$
]

答案： A

12. 如图,点A,B,C,O分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置.点A位于点O的北偏西$65^{\circ}$方向上,点B位于点O的北偏东$25^{\circ}$方向上.
(1)求$\angle AOB$的度数.
(2)若$\angle BOC= 125^{\circ}$,直接写出小华家C相对学校的方向.
]

答案：
(1)$\angle AOB=90^{\circ}$
(2)小华家C在学校的南偏东$30^{\circ}$方向上

13. 如图,$\angle AOB与\angle COD$都是直角.
(1)若$\angle BOC= 113^{\circ}$,求$\angle AOD$的度数.
(2)以OD为一边,作$\angle DOE= \angle DOB$,且OE与OB不重合.(要求：尺规作图,保留作图痕迹)
(3)在(2)的条件下,如果$\angle AOD的度数比\angle BOD$度数的3倍还多$10^{\circ}$,那么$\angle AOE$的度数为______.

1. （1）
解：因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle COD = 90^{\circ}$，$\angle BOC = 113^{\circ}$。
根据周角的定义$\angle AOB+\angle BOC+\angle COD+\angle AOD = 360^{\circ}$。
则$\angle AOD=360^{\circ}-\angle AOB - \angle BOC-\angle COD$。
把$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle COD = 90^{\circ}$，$\angle BOC = 113^{\circ}$代入可得：
$\angle AOD=360^{\circ}-90^{\circ}-113^{\circ}-90^{\circ}=67^{\circ}$。
2. （2）
尺规作图步骤：
以$O$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$OD$、$OB$于点$M$、$N$；
以$O$为圆心，$OM$长为半径画弧，交$OD$于点$P$；
以$P$为圆心，$MN$长为半径画弧，交前弧于点$Q$；
作射线$OE$，则$\angle DOE=\angle DOB$（作图痕迹略）。
3. （3）
$50^{\circ}$或$90^{\circ}$

答案： 1. （1）
解：因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle COD = 90^{\circ}$，$\angle BOC = 113^{\circ}$。
根据周角的定义$\angle AOB+\angle BOC+\angle COD+\angle AOD = 360^{\circ}$。
则$\angle AOD=360^{\circ}-\angle AOB - \angle BOC-\angle COD$。
把$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle COD = 90^{\circ}$，$\angle BOC = 113^{\circ}$代入可得：
$\angle AOD=360^{\circ}-90^{\circ}-113^{\circ}-90^{\circ}=67^{\circ}$。
2. （2）
尺规作图步骤：
以$O$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$OD$、$OB$于点$M$、$N$；
以$O$为圆心，$OM$长为半径画弧，交$OD$于点$P$；
以$P$为圆心，$MN$长为半径画弧，交前弧于点$Q$；
作射线$OE$，则$\angle DOE=\angle DOB$（作图痕迹略）。
3. （3）
设$\angle BOD = x$，则$\angle AOD = 3x + 10^{\circ}$。
因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，所以$\angle AOD+\angle BOD = 90^{\circ}$，即$3x + 10^{\circ}+x=90^{\circ}$。
合并同类项得$4x=90^{\circ}-10^{\circ}$，$4x = 80^{\circ}$，解得$x = 20^{\circ}$。
因为$\angle DOE=\angle DOB=x = 20^{\circ}$。
当$OE$在$\angle AOD$内部时，$\angle AOE=\angle AOD-\angle DOE=(3x + 10^{\circ})-x=2x + 10^{\circ}$，把$x = 20^{\circ}$代入得$\angle AOE=2×20^{\circ}+10^{\circ}=50^{\circ}$；
当$OE$在$\angle AOD$外部时，$\angle AOE=\angle AOD+\angle DOE=(3x + 10^{\circ})+x=4x + 10^{\circ}$，把$x = 20^{\circ}$代入得$\angle AOE=4×20^{\circ}+10^{\circ}=90^{\circ}$。
故$\angle AOE$的度数为$50^{\circ}$或$90^{\circ}$。

14. 将一个半径为2的圆分成八个完全相同的小扇形,则每个小扇形的圆心角为45°,面积为$\frac{\pi}{2}$(结果保留π).

答案： 45 $\frac{\pi}{2}$

15. 若一个多边形截去一个角后,变成十四边形,则原来的多边形的边数可能为(C)
A.14或15
B.13或14
C.13或14或15
D.14或15或16

答案： C

16. 综合与实践
【特例感知】
(1)如图1,已知线段AB= 14cm,点C为线段AB上的一个动点,点D,E分别是线段AC和BC的中点.
①若AC= 4cm,则线段DE= 7cm.
②若AC= a cm(a＜14),则线段DE= 7cm.
【知识迁移】
(2)我们发现角的很多规律和线段一样,如图2,若$\angle AOB= 120^{\circ}$,OC是$\angle AOB$内部的一条射线,射线OM平分$\angle AOC$,射线ON平分$\angle BOC$,求$\angle MON$的度数.
$\angle MON=60^{\circ}$
【拓展探究】
(3)已知$\angle COD在\angle AOB$内部的位置如图3所示,$\angle AOB= \alpha(\alpha＜180^{\circ})$,$\angle COD= 30^{\circ}$,且$\angle DOM= 2\angle AOM$,$\angle CON= 2\angle BON$,请直接写出$\angle MON= $$\frac{2}{3}\alpha +10^{\circ}$(用含α的代数式表示).

答案：
(1)①7 ②7
(2)$\angle MON=60^{\circ}$
(3)$\frac{2}{3}\alpha +10^{\circ}$