《2025年同步精练广东七年级数学上册北师大版》

【例】如图,$∠AOC = 130^{\circ}$,$∠BOC = 50^{\circ}$,且$OD平分∠AOB$,$OE平分∠BOC$。
(1)求$∠DOE$的度数。
(2)若将条件“$∠BOC = 50^{\circ}$”删去,其余条件不变,则$∠DOE$的度数是否会改变？请说明理由。

【拓展提问】若$OB在∠AOC$的外部,其他条件不变,则$∠DOE = $65°。
【例】解：
(1)
∵∠AOC=130°,∠BOC=50°,
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=130°-50°=80°.
∵OD平分∠AOB,OE平分∠BOC,
∴∠DOB= $\frac{1}{2}$∠AOB= $\frac{1}{2}$×80°=40°,∠BOE= $\frac{1}{2}$∠BOC= $\frac{1}{2}$×50°=25°.
∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=40°+25°=65°.
(2)不会变.理由如下:
∵OD平分∠AOB,OE平分∠BOC,
∴∠DOB= $\frac{1}{2}$∠AOB,∠BOE= $\frac{1}{2}$∠BOC.
∵∠AOB+∠BOC=∠AOC,
∴∠DOE=∠DOB+∠BOE= $\frac{1}{2}$∠AOC=65°.

答案： 【例】解：
(1)
∵∠AOC=130°,∠BOC=50°,
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=130°-50°=80°.
∵OD平分∠AOB,OE平分∠BOC,
∴∠DOB= $\frac{1}{2}$∠AOB= $\frac{1}{2}$×80°=40°,∠BOE= $\frac{1}{2}$∠BOC= $\frac{1}{2}$×50°=25°.
∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=40°+25°=65°.
(2)不会变.理由如下:
∵OD平分∠AOB,OE平分∠BOC,
∴∠DOB= $\frac{1}{2}$∠AOB,∠BOE= $\frac{1}{2}$∠BOC.
∵∠AOB+∠BOC=∠AOC,
∴∠DOE=∠DOB+∠BOE= $\frac{1}{2}$∠AOC=65°.【拓展提问】65°

【变式 1】如图,已知$OE平分∠AOC$,$OF平分∠BOC$。
(1)若$∠AOB = 70^{\circ}$,$∠BOC = 30^{\circ}$,则$∠EOF = $35°。
(2)若$∠AOB = ∠α$,$∠BOC = ∠β$,求$∠EOF$的度数。
∵OE平分∠AOC,∴∠EOC= $\frac{1}{2}$∠AOC.∵ OF 平分∠BOC,∴∠COF= $\frac{1}{2}$∠BOC.∴∠EOF=∠EOC-∠COF= $\frac{1}{2}$∠AOC- $\frac{1}{2}$∠BOC= $\frac{1}{2}$(∠AOC-∠BOC)= $\frac{1}{2}$∠AOB= $\frac{1}{2}$α.
(3)通过(1)(2)的计算,能发现什么？
发现∠EOF= $\frac{1}{2}$∠AOB,与∠BOC的度数无关.

答案： 【变式1】解:
(1)35°
(2)
∵OE平分∠AOC,
∴∠EOC= $\frac{1}{2}$∠AOC.
∵ OF 平分∠BOC,
∴∠COF= $\frac{1}{2}$∠BOC.
∴∠EOF=∠EOC-∠COF= $\frac{1}{2}$∠AOC- $\frac{1}{2}$∠BOC= $\frac{1}{2}$(∠AOC-∠BOC)= $\frac{1}{2}$∠AOB= $\frac{1}{2}$α.
(3)发现∠EOF= $\frac{1}{2}$∠AOB,与∠BOC的度数无关.

【变式 2】如图,$∠AOB = 80^{\circ}$,$∠AOC ＜ 180^{\circ}$,$OE平分∠AOD$,$OF平分∠BOC$。若$∠COD = 50^{\circ}$,求$∠EOF$的度数。

答案： 【变式2】解:
∵OE平分∠AOD,OF平分∠BOC,
∴∠AOE=∠EOD= $\frac{1}{2}$∠AOD,∠BOF=∠FOC= $\frac{1}{2}$∠BOC.
∴∠EOF=∠EOD+∠BOF-∠BOD= $\frac{1}{2}$∠AOD+ $\frac{1}{2}$∠BOC-∠BOD= $\frac{1}{2}$(∠AOD+∠BOC)-∠BOD= $\frac{1}{2}$(∠AOB+∠COD+2∠BOD)-∠BOD= $\frac{1}{2}$(∠AOB+∠COD)= $\frac{1}{2}$×(80°+50°)=65°.