《2025年同步精练广东七年级数学上册北师大版》

【例】如图,在数轴上,点 A 表示的数为 -6,点 B 表示的数为 8,动点 P 从点 A 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿射线 AB 的方向运动,运动时间为 $ t(t＞0) $ 秒.

(1) $ t $ 秒后,点 P 走过____个单位长度.
(2) 线段 $ AB = 8 - $____ $ =$____; $ t $ 秒后,点 P 表示的数为____.
(3) 若点 P 在线段 AB 上,则线段 $ AP = $____, $ BP = $____.(用含 $ t $ 的代数式表示)
(4) 求经过多长时间,A,B,P 三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点.
【分析】 $ t $ 秒后,点 P 可以在点 A,B 之间,也可以在点 B 右侧,故存在两种情况.
【解答】

答案：

(1)2t
(2)(-6) 14 -6+2t
(3)2t 14-2t
(4)①当P是AB的中点时,如图1,AP=BP,

∴2t=14-2t,解得t= $\frac{7}{2}$;②当B是AP的中点时,如图2,点P在AB的延长线上,则AB=BP= $\frac{1}{2}$AP,
∴14= $\frac{1}{2}$×2t,解得t=14.

综上所述,经过 $\frac{7}{2}$秒或14秒,A,B,P三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点.

1. 如图,已知线段 $ AB = 24 $,C 为线段 AB 上的一点,D,E 分别是 AC 和 BC 的中点.
(1) 若 $ AC = 8 $,则线段 DE 的长为12.
(2) 若 $ BC = a $,求线段 DE 的长.
(3) 动点 P,Q 分别从 A,B 两点同时出发,相向而行,点 P 以每秒 3 个单位长度的速度沿线段 AB 向右匀速运动,点 Q 以点 P 速度的两倍沿线段 AB 向左匀速运动,设运动时间为 $ t $ 秒,则当 $ t $ 的值为多少时,P,Q 两点之间的距离为 6?

答案：
(1)12
(2)
∵AB=24,BC=a,
∴AC=24-a.
∵D,E分别是AC和BC的中点,
∴DC=12- $\frac{1}{2}$a,CE= $\frac{1}{2}$a.
∴DE=DC+CE=12.
(3)由题意,得AP=3t,BQ=6t.若P,Q两点之间的距离为6,则3t+6+6t=24或3t+6t-6=24,解得t=2或t= $\frac{10}{3}$.
∴当t的值为2或 $\frac{10}{3}$时,P,Q两点之间的距离为6.

2. 如图,已知数轴上 A,B,C 三点对应的数分别为 -1,3,5,P 为数轴上任意一点,其对应的数为 $ x $. 点 A 与点 P 之间的距离表示为 AP,点 B 与点 P 之间的距离表示为 BP.
(1) 若 $ AP = BP $,求 $ x $ 的值.
(2) 若 $ AP = 3 $,求 $ x $ 的值.
(3) 若点 P 从点 C 出发,以每秒 3 个单位长度的速度向右运动,点 A 以每秒 1 个单位长度的速度向左运动,点 B 以每秒 2 个单位长度的速度向右运动,三点同时出发. 设运动时间为 $ t $ 秒,试判断 $ 4BP - AP $ 的值是否发生变化? 若不变化,求出这个定值;若变化,请说明理由.

答案：
(1)
∵AP=BP,
∴点P在点A,B之间.
∴AP=x-(-1),BP=3-x.
∴x-(-1)=3-x,解得x=1.
(2)由题意,得AP=|x-(-1)|=3,解得x=2或x=-4.
(3)4BP-AP的值不会随着t的变化而变化.理由如下:由题意知，点P表示的数为5+3t,点B表示的数为3+2t,点A表示的数为-1-t.
∴BP=5+3t-(3+2t)=2+t,AP=5+3t-(-1-t)=6+4t.
∴4BP-AP=4(2+t)-(6+4t)=2.
∴4BP-AP的值不会随着t的变化而变化，定值是2.