《2025年同步精练广东七年级数学上册北师大版》

10. 好朋友给小亮过生日,如图,现有底面直径为 16 cm,高为 30 cm 的圆柱形容器,里面装满了果汁,小亮要把果汁分装到底面直径为 8 cm 的 10 个小圆柱形杯子里(每个杯子刚好装满),与好友分享,则杯子的高度为12cm.

答案： 12

11. 如果一个长方形内部能用一些正方形铺满,既不重叠,又无缝隙,就称它为“优美长方形”. 如图所示,“优美长方形” $ ABCD $ 的周长为 26,则正方形 $ b $ 的边长为1.

答案： 1

12. (教材 P154 习题 T1 变式)在一个底面直径为 5 cm,高为 18 cm 的圆柱形空瓶内装满水,再将瓶内的水倒入一个底面直径为 6 cm,高为 10 cm 的圆柱形空玻璃杯中,能否完全装下？若装不下,则瓶内水还剩多高？若装得下,求杯内水面离杯口的距离.

答案： 解:$\because\pi×\left(\frac{5}{2}\right)^2×18=112.5\pi\left(cm^3\right)$,$\pi×\left(\frac{6}{2}\right)^2×10=90\pi\left(cm^3\right)$,且$112.5\pi＞90\pi$,$\therefore$不能完全装下.设瓶内水还剩$y\ cm$高.根据题意,得$112.5\pi=\pi×\left(\frac{5}{2}\right)^2y+90\pi$,解得$y=3.6$.答:装不下,且瓶内水还剩$3.6\ cm$高.

13. 如图,小王计划利用长为 42 m 的竹篱笆围成一个长边靠墙的长方形菜园 $ ABCD $,并在边 $ CD $ 上留一个宽为 1 m 的门,已知墙的长度为 18 m. 现有下列两个方案：
方案一：围成的菜园的长比宽多 7 m；
方案二：围成的菜园的长比宽多 4 m.
请问：这两个方案哪个能实现？如果能实现,那么这个长方形菜园的面积是多少？

答案： 解:方案一,设围成的菜园的宽为$x\ m$,则长为$(42+1-2x)\ m$.根据题意,得$42+1-2x-x=12$.则$42+1-2x=19$,不合题意,$\therefore$方案一不能实现.方案二,设围成的菜园的宽为$y\ m$,则长为$(42+1-2y)\ m$.根据题意,得$42+1-2y-y=4$,解得$y=13$.则$42+1-2y=17＜18$,符合题意.$\therefore$方案二能实现,则$17×13=221\left(m^2\right)$.答:方案二能实现,这个长方形菜园的面积是$221\ m^2$.

14. 对联是中华传统文化的瑰宝,对联装裱后,如图所示,上、下空白处分别称为天头和地头,左、右空白处统称为边. 一般情况下,天头长与地头长的比是 $ 6:4 $,左、右边的宽相等,均为天头长与地头长的和的 $ \frac{1}{10} $. 某人要装裱一副对联,对联的长为 100 cm,宽为 27 cm. 若要求装裱后的长是装裱后的宽的 4 倍,求边的宽和天头长.

答案： 解:设天头长为$6x\ cm$,地头长为$4x\ cm$,则左、右边的宽为$x\ cm$.根据题意,得$100+(6x+4x)=4×(27+2x)$,解得$x=4$,则$6x=24$.答:边的宽为$4\ cm$,天头长为$24\ cm$.