《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

15. 从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫作这个三角形的“完美分割线”.
(1)如图①,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 48^{\circ}$,$CD是\triangle ABC$的完美分割线,且$AD = CD$,求$\angle ACB$的度数.
(2)如图②,在$\triangle ABC$中,$AC = 2$,$BC = \sqrt{2}$,$CD是\triangle ABC$的完美分割线,且$\triangle ACD是以CD$为底边的等腰三角形,找出$CD与BD$的关系.

答案： 解:
(1)当$AD=CD$时,$\angle ACD=\angle A=48^{\circ}$.
$\because \triangle BDC\backsim \triangle BCA$,$\therefore \angle BCD=\angle A=48^{\circ}$,
$\therefore \angle ACB=\angle ACD+\angle BCD=96^{\circ}$.
(2)结论:$CD=\sqrt{2}BD$.
$\because \triangle BCD\backsim \triangle BAC$,$\therefore \frac{CD}{AC}=\frac{BD}{BC}$,
$\therefore \frac{CD}{BD}=\frac{AC}{BC}=\sqrt{2}$,$\therefore CD=\sqrt{2}BD$.

16. 小红家的阳台上放置了一个晒衣架,晒衣架的侧面示意图如图所示,立杆$AB$,$CD相交于点O$,点$B$,$D$在地面上,经测量得到$AB = CD = 136\mathrm{cm}$,$OA = OC = 51\mathrm{cm}$,$OE = OF = 34\mathrm{cm}$.现将晒衣架完全稳固张开,扣链$EF$成一条线段,且$EF = 32\mathrm{cm}$,垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时,连衣裙才不会拖在地面上？

答案：
解:$\because AB,CD$相交于点$O$,$\therefore \angle AOC=\angle BOD$.
$\because OA=OC$,
$\therefore \angle OAC=\angle OCA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BOD)$.
同理$\angle OBD=\angle ODB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BOD)$,
$\therefore \angle OAC=\angle OBD$,$\therefore AC// BD$.
如图,过点$O$作$ON\perp EF$于点$N$.

在$Rt\triangle OEN$中,$ON=\sqrt{OE^{2}-EN^{2}}=30(cm)$.
过点$A$作$AM\perp BD$于点$M$,
同理可证$EF// BD$,
$\therefore \angle ABM=\angle OEN$,则$Rt\triangle OEN\backsim Rt\triangle ABM$,
$\therefore \frac{OE}{AB}=\frac{ON}{AM}$,$\therefore AM=\frac{30× 136}{34}=120(cm)$.
故垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120 cm时,连衣裙才不会拖在地面上.