《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

如果已知点为一般点,往往设一般式来求表达式,通常情况下,要求几个系数就需要几个已知点.若3个系数都未知,则一般需要3个点,得到关于$a$，$b$，$c$的三元一次方程组,解方程组求出a,b,c的值,便可得到表达式.

答案： 一般；$a$，$b$，$c$

例:若一个二次函数的图象经过点(-1,-5),(1,3),(2,1),求此二次函数的表达式.
解:设此函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(aeq0)$.
∵图象经过点(-1,-5),(1,3),(2,1),
∴可得方程组$\begin{cases} $$a - b + c = -5$, \\ $a + b + c = 3$, \\ $4a + 2b + c = 1$, \end{cases} $解得$\begin{cases} $$a = -2$, \\ $b = 4$, \\ $c = 1$. \end{cases} $
∴此二次函数的表达式为$y=-2x^2 + 4x + 1$.

答案： 设此函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$。
∵图象经过点$(-1,-5),(1,3),(2,1)$,
∴可得方程组$\begin{cases} a - b + c = -5, \\ a + b + c = 3, \\ 4a + 2b + c = 1, \end{cases} $
解得$\begin{cases} a = -2, \\ b = 4, \\ c = 1. \end{cases} $
∴此二次函数的表达式为$y=-2x^2 + 4x + 1$.

1. 若一个二次函数图象的顶点坐标为(1,-1),且图象过原点(0,0),则该二次函数的表达式为$ y=(x-1)^2-1 $.

答案： $ y=(x-1)^2-1 $

2. 已知二次函数$y = ax^2 + bx + c(a eq 0)$的图象如图所示,交x轴于B(2,0)和C(4,0)两点,交y轴于点A(0,3),则该二次函数的表达式为$ y=\frac{3}{8}x^2-\frac{9}{4}x+3 $.

答案： $ y=\frac{3}{8}x^2-\frac{9}{4}x+3 $

3. 已知二次函数的图象开口向下,且顶点在y轴的负半轴上,请你写出1个满足条件的二次函数的表达式:$ y=-x^2-1 $.

答案： $ y=-x^2-1 $（答案不唯一.）

4. 已知二次函数$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)的图象是过点A(-1,-\frac{5}{2}),B(0,-4),C(4,0)$的一条抛物线.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)求这条抛物线的顶点坐标和对称轴.
(3)当x为何值时,函数有最大值或最小值?最大值或最小值等于多少?
(4)x在什么范围内,y随x的增大而增大?

答案：
(1)$ y=\frac{1}{2}x^2-x-4 $.
(2)顶点坐标为$ (1,-\frac{9}{2}) $,对称轴为直线$ x=1 $.
(3)当$ x=1 $时,函数有最小值,最小值是$ -\frac{9}{2} $.
(4)当$ x＞1 $时,$ y $随$ x $的增大而增大.