《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

17. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$CB = CA$,点 $D$,$E$ 分别是 $AB$,$AC$ 的中点,连接 $DE$ 并延长,交外角 $\angle ACM$ 的平分线 $CN$ 于点 $F$.
(1) 求证:$AD = CF$.
(2) 连接 $CD$,$AF$,当 $\triangle ABC$ 满足什么条件时,四边形 $ADCF$ 为正方形? 请证明你的结论。

答案：
(1)证明:
∵CB=CA,
∴∠A=∠B.
∵∠ACM=∠A+∠B,
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠ACM.
∵CN平分∠ACM,
∴∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACM,
∴∠A=∠ACF.
∵E是AC的中点,
∴AE=CE.在△ADE与△CFE中,
∵$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠ECF,\\ AE=CE,\\ ∠AED=∠CEF,\end{array}\right. $
∴△ADE≌△CFE(ASA),
∴AD=CF.
(2)解:当∠ACB=90°时,四边形ADCF是正方形.证明:如图,
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴△ACB是等腰直角三角形,
∴∠BAC=45°.
∵CN平分∠ACM,
∴∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACM=45°,
∴∠DAC=∠ACF,
∴AD//CF.由
(1)知AD=CF,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵点D是AB的中点,
∴AD=CD,
∴∠ACD=∠CAD=45°,
∴∠DCF=90°,
∴矩形ADCF是正方形.

18. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$D$ 是 $BC$ 中点,$F$ 是 $AC$ 中点,$AN$ 是 $\triangle ABC$ 的外角 $\angle MAC$ 的平分线,延长 $DF$ 交 $AN$ 于点 $E$,连接 $CE$.
(1) 求证:四边形 $ADCE$ 是矩形.
(2) 填空: ① 若 $AB = BC = 3$,则四边形 $ADCE$ 的面积为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$;
② 当 $\triangle ABC$ 满足∠BAC=90°时,四边形 $ADCE$ 是正方形。

(1)证明:
∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,
∴∠MAE=$\frac{1}{2}$∠MAC,∠MAC=∠B+∠ACB.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠MAE=∠B,
∴AN//BC.
∵F为AC的中点,D为BC的中点,
∴FD//AB,
∴四边形ABDE为平行四边形,
∴AE=BD.
∵BD=CD,
∴AE=CD,
∴四边形ADCE为平行四边形.
∵AB=AC,点D为BC中点,
∴AD⊥BC,
∴AD⊥AE,
∴∠DAE=90°,
∴四边形ADCE为矩形.

答案：
(1)证明:
∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,
∴∠MAE=$\frac{1}{2}$∠MAC,∠MAC=∠B+∠ACB.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠MAE=∠B,
∴AN//BC.
∵F为AC的中点,D为BC的中点,
∴FD//AB,
∴四边形ABDE为平行四边形,
∴AE=BD.
∵BD=CD,
∴AE=CD,
∴四边形ADCE为平行四边形.
∵AB=AC,点D为BC中点,
∴AD⊥BC,
∴AD⊥AE,
∴∠DAE=90°,
∴四边形ADCE为矩形.
(2)①$\frac{9\sqrt{3}}{4}$ ②∠BAC=90°