《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

2. 如图是某斜拉桥引申出的部分平面图,$ AE $,$ CD $ 是两条拉索,其中拉索 $ CD $ 与水平桥面 $ BE $ 的夹角为 $ 72^{\circ} $,其底端与立柱 $ AB $ 底端的距离 $ BD $ 为 $ 4 \, m $,两条拉索顶端距离 $ AC $ 为 $ 2 \, m $。若要使拉索 $ AE $ 与水平桥面的夹角为 $ 35^{\circ} $,请计算拉索 $ AE $ 的长(结果精确到 $ 0.1 \, m $)。
$\left( 参考数据 : \sin 35^{\circ} \approx \frac{14}{25}, \cos 35^{\circ} \approx \frac{4}{5}, \tan 35^{\circ} \approx \frac{7}{10}, \sin 72^{\circ} \approx \frac{19}{20}, \cos 72^{\circ} \approx \frac{3}{10}, \tan 72^{\circ} \approx \frac{19}{6}. \right)$

答案： 解:由题意可得tan 72°=BC/BD=BC/4=19/6,
解得BC=38/3,
则AB=BC+AC=38/3+2=44/3(m),
故sin 35°=AB/AE=44/3 /AE=14/25,
解得AE≈26.2.
答:拉索AE的长为26.2 m.

3. 如图,大楼 $ AB $ 右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼 $ DE $,在小楼的顶端 $ D $ 处测得障碍物边缘点 $ C $ 的俯角为 $ 30^{\circ} $,测得大楼顶端 $ A $ 的仰角为 $ 45^{\circ} $(点 $ B $,$ C $,$ E $ 在同一水平直线上)。若 $ AB = 80 \, m $,$ DE = 10 \, m $,求障碍物 $ B $,$ C $ 两点间的距离。(结果精确到 $ 0.1 \, m $,参考数据：$ \sqrt{2} \approx 1.414 $,$ \sqrt{3} \approx 1.732 $。)

答案：
解:如图,过点D作DF⊥AB于点F,过点C作CH⊥DF于点H.

则DE=BF=CH=10 m.
在Rt△ADF中,
∵AF=80 - 10=70(m),∠ADF=45°,
∴DF=AF=70 m.
在Rt△CDE中,
∵DE=10 m,∠DCE=30°,
∴CE=DE/tan 30°=10/(√3/3)=10√3(m),
∴BC=BE - CE=70 - 10√3≈70 - 17.32≈52.7(m).
答:障碍物B,C两点间的距离约为52.7 m.