《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

6. 如图,在$\triangle ABC$ 中,点 $D$ 是 $AB$ 上一点,点 $E$ 是 $AC$ 的中点,过点 $C$ 作 $CF// AB$,交 $DE$ 的延长线于点 $F$.
(1)求证：$AD = CF$.
(2)连接 $AF$,$CD$. 若点 $D$ 是 $AB$ 的中点,当 $AC$ 与 $BC$ 满足什么条件时,四边形 $ADCF$ 是菱形？证明你的结论.

答案：
(1)证明:
∵ CF//AB,
∴ ∠ADF=∠CFD,∠DAC=∠FCA.
∵ 点 E 是 AC 的中点,
∴ AE=CE,
∴ △ADE≌△CFE(AAS),
∴ AD=CF.
(2)解:当 AC⊥BC 时,四边形 ADCF 是菱形.证明如下:
由
(1)知 AD=CF,
则四边形 ADCF 是平行四边形.
∵ AC⊥BC,
∴ △ABC 是直角三角形.
∵ 点 D 是 AB 的中点,
∴ CD= $\frac{1}{2}$AB=AD,
∴ 四边形 ADCF 是菱形.

7. 如图,在$□ ABCD$ 中,$AE$ 是$\angle BAD$ 的平分线,交 $BC$ 于点 $E$,$EF// AB$,交 $AD$ 于点 $F$.
求证：四边形 $ABEF$ 是菱形.

答案： 提示:由 EF//AB,AD//EC 得四边形 ABEF 是平行四边形,再由 AE 平分∠BAD 代换得∠BAE=∠AEB,从而得 AB=BE,所以▱ABEF 是菱形.

8. 如图,在$□ ABCD$ 中,$E$,$F$ 分别是边 $AD$,$BC$ 上的点,且 $AE = CF$,直线 $EF$ 分别交 $BA$ 的延长线、$DC$ 的延长线于点 $G$,$H$,交 $BD$ 于点 $O$.
(1)求证：$\triangle ABE\cong\triangle CDF$.
(2)连接 $DG$,若 $DG = BG$,四边形 $BEDF$ 是什么特殊四边形？请说明理由.

答案： （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$\angle BAE=\angle DCF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}AB = CD\\\angle BAE=\angle DCF\\AE = CF\end{cases}$。
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle CDF$。
（2）解：
四边形$BEDF$是菱形。
理由如下：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD = BC$。
又因为$AE = CF$，所以$AD - AE=BC - CF$，即$DE = BF$。
又$DE// BF$，所以四边形$BEDF$是平行四边形。
因为$DG = BG$，所以$\angle GBD=\angle GDB$。
因为$AB// CD$，所以$\angle G=\angle H$。
又$\angle AEG=\angle DEH$（对顶角相等），$AE = CF$，$AB = CD$，由（1）知$\triangle ABE\cong\triangle CDF$，则$\angle ABE=\angle CDF$。
因为$AB// CD$，所以$\angle ABD=\angle CDB$。
又$DE = BF$，$BD = BD$，$\triangle BDE$和$\triangle BDF$中，$\begin{cases}DE = BF\\\angle EDO=\angle FBO\\\angle DOE=\angle BOF\end{cases}$（$\angle EDO=\angle GDB-\angle ADB$，$\angle FBO=\angle GBD-\angle ABD$，因为$\angle GBD=\angle GDB$，$\angle ABD=\angle CDB$，所以$\angle EDO=\angle FBO$，对顶角$\angle DOE=\angle BOF$），所以$\triangle DOE\cong\triangle BOF(AAS)$，则$BO = DO$。
又因为四边形$BEDF$是平行四边形，对角线$BD\perp EF$（等腰三角形三线合一，$DG = BG$，$DE = BF$，可证$BD\perp EF$）。
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以四边形$BEDF$是菱形。
综上，（1）已证$\triangle ABE\cong\triangle CDF$；（2）四边形$BEDF$是菱形。