《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

1. 已知二次函数图象的顶点,往往设顶点式来求函数表达式。
例：已知某二次函数图象的顶点为$(2,-1)$,且图象经过点$(1,1)$,求此二次函数的表达式。
解：设此函数的表达式为$y=a(x-h)^2+k$,
∵ 函数图象的顶点为$(2,-1)$,
∴ 代入表达式可得$y=a(x - 2)^2 - 1$。
∵ 函数图象过点$(1,-1)$,
∴ 代入表达式可得$1 = a(1 - 2)^2 - 1$。
解得$a= $2。
∴ 此二次函数的表达式为$y = 2(x - 2)^2 - 1$。
我们利用函数的已知点的坐标或已知变量的值求表达式的方法叫作待定系数法。

答案： 顶点；$y=a(x-h)^2+k$；$y=a(x - 2)^2 - 1$；$1 = a(1 - 2)^2 - 1$；2；$y = 2(x - 2)^2 - 1$；待定系数

2. 如果已知点为一般点,往往设一般式来求表达式,通常情况下,要求几个系数就需要几个已知点。
例：已知二次函数$y = ax^{2}+bx + 3(a≠0)$的图象经过点A(3,0),$B(-1,8)$,求该函数的表达式。
解：把点$A(3,0)$,$B(-1,8)$分别代入$y = ax^{2}+bx + 3$中,
得方程组$\begin{cases}9a + 3b + 3 = 0,\\a - b + 3 = 8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = -4,\end{cases}$
故该函数的表达式为$y = x^{2}-4x + 3$。

答案： 一般；$9a + 3b + 3 = 0$；$a - b + 3 = 8$；$a = 1$；$b = -4$；$y = x^{2}-4x + 3$

1. 经过原点且对称轴是直线$x = -1$的抛物线的表达式可能是(C)。
A.$y = x^{2}-2x$
B.$y= (x + 1)^{2}$
C.$y= -x(x + 2)$
D.$y= (x - 1)^{2}$

答案： C

2. 已知一个二次函数,当$x = 1$时,有最大值$8$,图象的形状与函数$y = -2x^{2}$的图象相同,则这个二次函数的表达式是(D)。
A.$y= -2x^{2}-x + 3$
B.$y= -2x^{2}+4$
C.$y= -2x^{2}+4x + 8$
D.$y= -2x^{2}+4x + 6$

答案： D

3. (1)已知二次函数$y = ax^{2}+bx - 3(a≠0)$的图象经过点(1,-4),(2,-3),那么这个二次函数的表达式是$y=x^2 - 2x - 3$。
(2)已知二次函数$y = x^{2}+px + q$图象的顶点是(5,-2),则这个二次函数的表达式是$y=x^2 - 10x + 23$。

答案：
(1)$y=x^2 - 2x - 3$；
(2)$y=x^2 - 10x + 23$

4. 已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c的顶点为(-2,3)$,且图象过点$(-1,5)$,试求$a$,$b$,$c$的值。

答案： 因为抛物线的顶点为$(-2,3)$，所以设抛物线的顶点式为$y = a(x + 2)^2 + 3$。
将点$(-1,5)$代入顶点式，得$5 = a(-1 + 2)^2 + 3$，即$5 = a(1)^2 + 3$，$5 = a + 3$，解得$a = 2$。
所以抛物线的表达式为$y = 2(x + 2)^2 + 3$，展开得$y = 2(x^2 + 4x + 4) + 3 = 2x^2 + 8x + 8 + 3 = 2x^2 + 8x + 11$。
因此，$a = 2$，$b = 8$，$c = 11$。