《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

4. 如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,$\triangle ABC和\triangle DEF$的顶点都在格点上,点$P_{1}$,$P_{2}$,$P_{3}$,$P_{4}$,$P_{5}是\triangle DEF$边上的 5 个格点. 回答下列问题：
(1) 试证明$\triangle ABC$为直角三角形.
(2) 判断$\triangle ABC与\triangle DEF$是否相似,并说明理由.
(3) 画一个三角形,使它的 3 个顶点为$P_{1}$,$P_{2}$,$P_{3}$,$P_{4}$,$P_{5}$中的 3 个,并且与$\triangle ABC$相似.

答案：
提示:
(1)根据勾股定理得AB=2√5,AC=√5,BC=5,显然有AB²+AC²=BC²,所以△ABC为直角三角形.
(2)△ABC与△DEF相似.根据勾股定理得AB=2√5,AC=√5,BC=5,DE=4√2,DF=2√2,EF=2√10.
∵AB/DE=AC/DF=BC/EF=√5/(2√2),
∴△ABC∽△DEF.
(3)如图,△P₂P₄P₅即为所求.

5. 如图,已知矩形$ABCD的边长AB = 3\mathrm{cm}$,$BC = 6\mathrm{cm}$. 动点$M从点A$出发,沿$AB方向以1\mathrm{cm/s}的速度向点B$匀速运动. 同时,动点$N从点D$出发,沿$DA方向以2\mathrm{cm/s}的速度向点A$匀速运动. 当一个点停止运动时,另一个点也停止运动. 问：是否存在时刻$t$,使以$A$,$M$,$N为顶点的三角形与\triangle ACD$相似？若存在,求出$t$的值；若不存在,请说明理由.

答案： 存在.当$t = \frac{3}{2}$或$t = \frac{12}{5}$时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似.