《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

8. 某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一根柱子 $ OA $,点 $ O $ 恰在水面中心。安装在柱子顶端 $ A $ 处的旋转喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,建立如图所示平面直角坐标系,右边一股水流的高度 $ y(m) $ 与水平距离 $ x(m) $ 之间的关系式是 $ y = -(x - 1)^{2} + \frac{5}{2} $。请回答下列问题：
(1)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？
(2)图中关于 $ y $ 轴对称的两股水流最高点之间的距离是多少？
(3)求图中左边那股水流所在抛物线的表达式。

答案：
(1)距水面的最大高度为$\frac{5}{2}m$.
(2)两股水流最高点间的距离为2m.
(3)$y=-(x+1)^{2}+\frac{5}{2}$.

9. 综合与实践
【问题初探】 数学小组先以抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^{2} $ 为例,对函数图象的平移变换做了以下研究：

(1)$ k $ 的值为-2,若 $ A(-2,2) $ 在抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^{2} $ 上,则平移后的对应点 $ A' $ 的坐标为(-3,0)。
【探究归纳】 同学们对函数图象向左平移1个单位长度,解析式中的 $ x $ 反而变为 $ x + 1 $ 产生了疑惑,这与点的坐标平移规律不一样,从而展开深入研究。以下是他们的部分相关研究笔记：
定义：函数图象按 $ (h,k) $ 平移是指先沿 $ x $ 轴方向向右平移 $ h(h ＞ 0) $ 个单位长度或向左平移 $ |h|(h ＜ 0) $ 个单位长度,再沿 $ y $ 轴向上平移 $ k(k ＞ 0) $ 个单位长度或向下平移 $ |k|(k ＜ 0) $ 个单位长度。
设抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^{2} $ 上的任意一点为 $ M(x,y) $,将抛物线按 $ (-1,3) $ 平移后,点 $ M $ 的对应点为点 $ N(x_{1},y_{1}) $。

【拓展应用】 同学们发现,这种方法同样适用对一次函数、反比例函数等函数图象的平移前后解析式的研究。
(2)若反比例函数 $ y = \frac{1}{x} $ 的图象按 $ (1,4) $ 平移,求平移后的函数解析式。
$y=\frac{1}{x-1}+4$
(3)若抛物线按 $ (m,n) $ 平移,规定平移路径长为 $ \sqrt{m^{2} + n^{2}} $,抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^{2} $ 平移后交直线 $ y = x - 1 $ 于 $ A $,$ B $ 两点,$ AB = 4 $。当平移路径最短时,求 $ m $,$ n $ 的值。
$m=\frac{3}{4},n=-\frac{3}{4}$

答案：
(1)-2 $(-3,0)$
(2)$y=\frac{1}{x-1}+4$.
(3)$m=\frac{3}{4},n=-\frac{3}{4}$.