《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

20. 如图,在 $ □ ABCD $ 中,$ O $ 是 $ CD $ 的中点,连接 $ AO $ 并延长,交 $ BC $ 的延长线于点 $ E $。
(1) 求证：$ \triangle AOD \cong \triangle EOC $。
(2) 连接 $ AC $,$ DE $,当 $ \angle B = \angle AEB = $45°(填度数)时,四边形 $ ACED $ 是正方形。请说明理由。

证明:
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,
∴∠D=∠OCE,∠DAO=∠E;
∵O是CD的中点，
∴OC=OD.
　在△AOD和△EOC中,
∵{∠ODA=∠OCE,∠DAO=∠CEO,DO=CO},
∴△AOD≌△EOC(AAS).
(2)当∠B=∠AEB=45°时,四边形ACED是正方形.
　理由:
∵△AOD≌△EOC,
∴OA=OE.
∵OC=OD,
∴四边形ACED是平行四边形.
∵∠B=∠AEB=45°,
∴AB=AE,∠BAE=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,AB=CD,
∴∠COE=∠BAE=90°,
∴平行四边形ACED是菱形.
∵AB=AE,AB=CD,
∴AE=CD.
∴菱形ACED是正方形.

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,
∴∠D=∠OCE,∠DAO=∠E;
∵O是CD的中点，
∴OC=OD.
　在△AOD和△EOC中,
∵{∠ODA=∠OCE,∠DAO=∠CEO,DO=CO},
∴△AOD≌△EOC(AAS).
(2)当∠B=∠AEB=45°时,四边形ACED是正方形.
　理由:
∵△AOD≌△EOC,
∴OA=OE.
∵OC=OD,
∴四边形ACED是平行四边形.
∵∠B=∠AEB=45°,
∴AB=AE,∠BAE=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,AB=CD,
∴∠COE=∠BAE=90°,
∴平行四边形ACED是菱形.
∵AB=AE,AB=CD,
∴AE=CD.
∴菱形ACED是正方形.

21. 一辆汽车从甲地开往乙地,随着汽车平均速度 $ v(km/h) $ 的变化,到达时间 $ t(h) $ 的变化情况如图所示。
(1) 甲、乙两地相距多少千米？
(2) 写出 $ t $ 与 $ v $ 之间的函数关系式。
(3) 当汽车的平均速度为 $ 75 km/h $ 时,到达时间为几小时？
(4) 如果准备在 $ 5 h $ 内到达,那么汽车的平均速度至少为多少？

答案：
(1)甲、乙两地相距600km.
(2)t=600/v.
(3)到达时间为8h.
(4)至少为120km/h.