《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

6. 如图,点 P 在□ABCD 的边 CD 上,连接 BP 并延长,与 AD 的延长线交于点 Q.
求证：△DQP∽△CBP.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，CD//AB（平行四边形对边平行）。
∵AD//BC，
∴∠QDP=∠BCP（两直线平行，内错角相等）。
∵CD//AB，
∴∠QPD=∠BPC（对顶角相等）。
在△DQP和△CBP中，
∠QDP=∠BCP，∠QPD=∠BPC，
∴△DQP∽△CBP（两角分别相等的两个三角形相似）。

7. 如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高.
求证：△ACD∽△ABC.

答案： 证明:在Rt△ABC中,
∵ CD是斜边AB上的高,
∴ ∠ADC=∠ACB=90°.
∵ ∠A是公共角,
∴ △ACD∽△ABC.

8. 如图,点 P 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上异于点 B,C 的一点,过点 P 作直线截 Rt△ABC,使截得的三角形与 Rt△ABC 相似,满足这样条件的直线有(C).

A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条

答案： C

9. 如图,在△ABC 中,∠B = 90°,点 P 从点 A 出发,沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动；点 Q 从点 B 出发,沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动. 两点同时出发,经过多少秒,由点 P,B,Q 组成的三角形与△ABC 相似?

答案： 经过$\frac{12}{5}$s或$\frac{18}{11}$s.