《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

3. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(k + 2)x + k - 1 = 0$。
(1) 求证：无论 $k$ 取何值,此方程总有两个不相等的实数根。
(2) 已知 $x= \frac{1}{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(k + 2)x + k - 1 = 0$ 的一个根,这个方程的两个根恰好是等腰 $\triangle ABC$ 的两条边长。
①求 $k$ 的值；
②求 $\triangle ABC$ 的周长。

答案：
(1)证明:$\because a=1,b=-(k+2),c=k-1,$$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=[-(k+2)]^{2}-4×1×(k-1)$$=k^{2}+8＞0,$
∴不论k取何值,该方程都有两个不相等的实数根.
(2)解:①把$x=\frac {1}{2}$代入方程$x^{2}-(k+2)x+k-1$$=0,$得$\frac {1}{4}-\frac {1}{2}(k+2)+k-1=0,$解得$k=\frac {7}{2}.$②方程为$x^{2}-\frac {11}{2}x+\frac {5}{2}=0,$解得$x_{1}=\frac {1}{2},x_{2}=5,$因为这个方程的两个根恰好是等腰$\triangle ABC$的两条边长,而$\frac {1}{2}+\frac {1}{2}＜5,$所以这个等腰三角形的三边分别为$\frac {1}{2},5,5,$所以$\triangle ABC$的周长为$\frac {1}{2}+5+5=\frac {21}{2}.$

4. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)= 0$,其中 $a$,$b$,$c$ 分别为 $\triangle ABC$ 三边的长。
(1) 如果 $x = - 1$ 是方程的根,试判断 $\triangle ABC$ 的形状,并说明理由。
(2) 如果方程有两个相等的实数根,试判断 $\triangle ABC$ 的形状,并说明理由。

答案： 解:
(1)$\triangle ABC$是等腰三角形.理由如下:$\because x=-1$是方程的根,$\therefore (a+c)×(-1)^{2}-2b+(a-c)=0,$$\therefore a+c-2b+a-c=0,$整理得$a-b=0,a=b,$$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形.
(2)$\triangle ABC$是直角三角形.理由如下:
∵方程有两个相等的实数根,$\therefore \Delta =(2b)^{2}-4(a+c)(a-c)=0,$整理得$4b^{2}-4a^{2}+4c^{2}=0,a^{2}=b^{2}+c^{2},$$\therefore \triangle ABC$是直角三角形.

5. 已知关于 $x$ 的方程 $kx^{2}+(1 - k)x - 1 = 0$,下列说法正确的是(C)。
A.当 $k = 0$ 时,方程无解
B.当 $k = 1$ 时,方程有 1 个实数解
C.当 $k = - 1$ 时,方程有两个相等的实数解
D.当 $k\neq0$ 时,方程总有两个不相等的实数解

答案： C

6. 若 $(x^{2}+y^{2})(x^{2}-2 + y^{2})-8 = 0$,则 $x^{2}+y^{2}$ 的值为(B)。
A.4 或 - 2
B.4
C.- 2
D.2

答案： B

7. 用公式法解方程 $\frac{a}{4}x^{2}-(a + 1)x + a = 0$。

答案： 解:①当$a=0$时,$-x+0=0$,解得$x=0.$②当$a≠0$时,$\Delta =[-(a+1)]^{2}-4×\frac {a}{4}×a=2a+1.$当$a＞-0.5$时,$x=\frac {(a+1)\pm \sqrt {2a+1}}{2×\frac {a}{4}}=\frac {2(a+1)\pm 2\sqrt {2a+1}}{a},$则$x_{1}=\frac {2(a+1)+2\sqrt {2a+1}}{a},$$x_{2}=\frac {2(a+1)-2\sqrt {2a+1}}{a};$当$a=-0.5$时,$x_{1}=x_{2}=\frac {2(a+1)}{a};$当$a＜-0.5$时,原方程无解.