《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

22. 学校计划将教学楼前的广场(矩形 $ ABCD $)铺上地面砖,矩形 $ ABCD $ 的长为 $ 100 m $,宽为 $ 80 m $,图案设计如图所示,广场的 4 个角处为小正方形,阴影部分为 4 个矩形,4 个矩形的宽都等于小正方形的边长,阴影部分铺绿色地面砖,其余部分铺白色地面砖。要使铺白色地面砖的面积为 $ 5200 m^{2} $,4 个小正方形的边长为多少米？

答案： 小正方形的边长为10m或35m.

23. 如图,在 $ Rt \triangle ACB $ 中,已知 $ \angle C = 90^{\circ} $,$ AC = 8 cm $,$ BC = 6 cm $,点 $ P $ 由点 $ B $ 出发,沿 $ BA $ 向点 $ A $ 匀速运动,速度为 $ 1 cm/s $。同时,点 $ Q $ 由点 $ A $ 出发,沿 $ AC $ 向点 $ C $ 匀速运动,速度为 $ 2 cm/s $。当一个点停止运动时,另一个点也停止运动。连接 $ PQ $,设运动时间为 $ t(s)(0 ＜ t \leq 4) $。解答下列问题：
(1) 当 $ t $ 为何值时,$ PQ // CB $？
(2) 当 $ t $ 为何值时,$ \triangle APQ $ 为等腰三角形？

答案：
解:
(1)在Rt△ABC中,
AB=√(BC²+AC²)=10,
　由题意知AP=10-t,AQ=2t.
　若PQ//BC,则△APQ∽△ABC,
　可得AQ/AC=AP/AB,
　即2t/8=(10-t)/10,
　解得t=20/7.
当t=20/7时,PQ//CB.
(2)若△APQ为等腰三角形,要分类3种情况讨论:
情况1:当AP=AQ时,
10-t=2t,解得t=10/3.
情况2:当PQ=AQ时,
如图①,过点Q作QE⊥AB,垂足为E,
　　　　　　
则AE=PE=1/2(10-t).
∵△AEQ∽△ACB,
∴AQ/AB=AE/AC,
即2t/10=(1/2(10-t))/8,解得t=50/21.
情况3:当AP=PQ时,
如图②,过点P作PF⊥AC,垂足为F,
　　　　　
则AF=QF=1/2×2t=t.
∵△AFP∽△ACB,
∴AP/AB=AF/AC,
即(10-t)/10=t/8,
解得t=40/9.
∵40/9＞4,
∴t=40/9不合题意，舍去,
∴不存在AP=PQ的情况.
综上,当t=10/3或50/21时,△APQ为等腰三角形.