《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

8. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90^{\circ} $, $ CE $ 是斜边 $ AB $ 上的中线,过点 $ E $ 作 $ EF \perp AB $,交 $ AC $ 于点 $ F $. 若 $ BC = 4 $, $ \triangle AEF $ 的面积为 $ 5 $,则 $ \sin \angle CEF $ 的值为(A).

A.$ \dfrac{3}{5} $
B.$ \dfrac{\sqrt{5}}{5} $
C.$ \dfrac{4}{5} $
D.$ \dfrac{2\sqrt{5}}{5} $

答案： A

9. 计算： $ \vert 1 - \sqrt{2} \vert - 2 \sin 45^{\circ} + (\pi - 3.14)^{0} + 2^{-2} = $$\frac{1}{4}$.

答案： $\frac{1}{4}$

10. 若周长为 $ 20 $ 的等腰三角形一边的长为 $ 6 $,则底角的余弦值为$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{7}$.

答案： $\frac{2}{3}$或$\frac{3}{7}$

11. 在如图所示的平面直角坐标系中,如果点 $ A $ 的坐标为 $ (1, \sqrt{3}) $,那么 $ \sin \angle 1 = $ $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

12. 如图,在活动课上,小玥想要利用所学的数学知识测量山坡 $ AE $ 的高度 $ AB $. 她先在山脚下的点 $ E $ 处测得坡顶 $ A $ 的仰角是 $ 30^{\circ} $,然后沿着坡度 $ i = 1:1 $ 的斜坡按 $ 20 m/min $ 的速度步行 $ 15 min $ 到达 $ C $ 处,此时测得点 $ A $ 的俯角是 $ 15^{\circ} $,点 $ A $, $ B $, $ E $, $ D $, $ C $ 在同一平面内,且点 $ D $, $ E $, $ B $ 在同一水平直线上,可求出山坡 $ AE $ 的高度 $ AB $ 是105.8 m.(结果精确到 $ 0.1 m $,参考数据： $ \sqrt{2} \approx 1.41 $.)

答案： 105.8 m

13. 如图,菱形 $ ABCD $ 的边长为 $ 15 $,连接 $ AC $, $ \sin \angle BAC = \dfrac{3}{5} $,则对角线 $ AC $ 的长为24.

答案： 24

14. 如图,在等边 $ \triangle ABC $ 内有一点 $ D $, $ AD = 4 $, $ BD = 5 $, $ CD = 3 $,将 $ \triangle ABD $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转,使 $ AB $ 与 $ AC $ 重合,点 $ D $ 旋转至点 $ E $,则 $ \angle DCE $ 的正切值为______.

$\frac{4}{3}$

答案： $\frac{4}{3}$

15. 一副三角板所放位置的示意图如图所示,若 $ AB = 14 cm $,则阴影部分的面积是$\frac{49}{2}$ $ cm^{2} $.

答案： $\frac{49}{2}$

16. 如图,已知直线 $ l_{1} // l_{2} // l_{3} // l_{4} $,且相邻两条平行直线间的距离都是 $ 1 $. 如果正方形 $ ABCD $ 的 $ 4 $ 个顶点分别在 $ 4 $ 条直线上,那么 $ \sin \alpha = $$\frac{\sqrt{5}}{5}$.

答案： $\frac{\sqrt{5}}{5}$