《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

1.(1)求二次函数图象与$x$轴(或与$x轴平行的直线y = m$)的交点,应把$y = \underline{0}$(或$y = \underline{m}$)代入函数表达式,求出$x$的值,即得交点.
(2)求二次函数图象与$y$轴(或与$y轴平行的直线x = n$)的交点,应把$x = \underline{0}$(或$x = \underline{n}$)代入函数表达式,求出$y$的值,即得交点.
(3)二次函数$y = ax^{2}+bx + c(aeq0)的图象与x$轴的交点个数与相应一元二次方程根的个数的关系如下：

| $\Delta＜0$ | $\underline{无}$实数根. | 与$x轴\underline{无}$交点. |
(4)二次函数$y = ax^{2}+bx + c(aeq0)的图象与同x轴平行的直线y = m$的交点个数可参照以上方法,得方程$ax^{2}+bx + c = m$,交点个数与方程根的个数$\underline{相同}$.

答案：
(1)0；m
(2)0；n
(3)2；2；2；1；无；无
(4)相同

例：如图,二次函数$y= \frac{1}{2}x^{2}+\frac{7}{2}x + 3的图象与直线y = -\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}交于A,B$两点,求点$A,B$的坐标.

解：把$y= \frac{1}{2}x^{2}+\frac{7}{2}x + 3与y = -\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}联立得\begin{cases}\underline{\hspace{10em}}\\\underline{\hspace{10em}}\end{cases} $
解此方程组得$\begin{cases}\underline{\hspace{5em}}\\\underline{\hspace{5em}}\end{cases} ,\begin{cases}\underline{\hspace{5em}}\\\underline{\hspace{5em}}\end{cases} $
$\therefore A(\underline{\hspace{3em}},\underline{\hspace{3em}}),B(\underline{\hspace{3em}},\underline{\hspace{3em}})$.
解：把$y= \frac{1}{2}x^{2}+\frac{7}{2}x + 3$与$y = -\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$联立得$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{7}{2}x + 3 \\ y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} \end{cases} $
解此方程组得$\begin{cases} x=-7 \\ y=3 \end{cases} ,\begin{cases} x=-1 \\ y=0 \end{cases} $
$\therefore A(-7,3),B(-1,0)$

答案： 解：把$y= \frac{1}{2}x^{2}+\frac{7}{2}x + 3$与$y = -\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$联立得$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{7}{2}x + 3 \\ y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} \end{cases}$
解此方程组得$\begin{cases} x=-7 \\ y=3 \end{cases}$，$\begin{cases} x=-1 \\ y=0 \end{cases}$
$\therefore A(-7,3)$，$B(-1,0)$

1.若一元二次方程$x^{2}-2x - m = 0$无实数根,则二次函数$y= (m + 1)x^{2}+m - 1$的图象必经过第(B)象限.
A.一、二
B.三、四
C.一、二、三
D.一、三、四

答案： B

2.抛物线$y = ax^{2}+bx + c上部分点的横坐标x与纵坐标y$的对应值如表：

下列结论不正确的是(C).
A.抛物线的开口向下
B.抛物线的对称轴为直线$x= \frac{1}{2}$
C.抛物线与$x轴的一个交点坐标为(2,0)$
D.函数$y = ax^{2}+bx + c的最大值为\frac{25}{4}$

答案： C

3.已知二次函数$y = x^{2}+mx + m^{2}-3(m$为常数,$m＞0)的图象经过点P(2,4)$.
(1)求$m$的值.
(2)判断二次函数$y = x^{2}+mx + m^{2}-3的图象与x$轴交点的个数,并说明理由.

答案：
(1)m=1.
(2)二次函数y=x²+x-2的图象与x轴有两个交点,理由略.