《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

14. 如图,一次函数 $ y_1 = kx + b $ 与反比例函数 $ y_2 = -\frac{4}{x} $ 的图象交于点 $ A(-4,m) $,$ B(n,-2) $,点 $ C(0,5) $ 是 $ y $ 轴上一点.
(1) 求出一次函数的表达式.
(2) 观察图象,当 $ y_1 ＞ y_2 $ 时,请直接写出 $ x $ 的取值范围.
(3) 求 $ \triangle ABC $ 的面积.

答案： 解:
(1)把点$A(-4,m),B(n,-2)$分别代入$y_{2}=-\frac {4}{x},$得$m=1,n=2,$
∴点A为$(-4,1)$,点B为$(2,-2).$把$A(-4,1),B(2,-2)$分别代入$y_{1}=kx+b,$得$\left\{\begin{array}{l} 1=-4k+b,\\ -2=2k+b\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-\frac {1}{2},\\ b=-1,\end{array}\right. $
∴一次函数的表达式为$y_{1}=-\frac {1}{2}x-1.$
(2)在y轴的左侧,当$y_{1}＞y_{2}$时,$x＜-4;$在y轴的右侧,当$y_{1}＞y_{2}$时,$0＜x＜2.$综上,当$y_{1}＞y_{2}$时,$x＜-4$或$0＜x＜2.$
(3)设直线AB与y轴交于点D,当$x=0$时,由$y_{1}=-\frac {1}{2}x-1$解得$y_{1}=-1,$
∴点D为$(0,-1),$$\therefore CD=5-(-1)=6,$$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADC}+S_{\triangle BDC}=\frac {1}{2}CD\cdot |x_{A}|+\frac {1}{2}CD\cdot |x_{B}|=\frac {1}{2}×6×4+\frac {1}{2}×6×2=18.$

15. 某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压 $ p (kPa) $ 是气体体积 $ V (m^3) $ 的反比例函数,如图所示.
(1) 写出这个函数的解析式.
(2) 当气球内的气压大于 $ 160 \, kPa $ 时,气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应不小于多少？

答案： 解:
(1)设$p=\frac {k}{V},$将点$A(0.8,120)$代入$p=\frac {k}{V},$得$120=\frac {k}{0.8}$,解得$k=96,$
∴这个函数的解析式为$p=\frac {96}{V}.$
(2)当$p=160$时,有$160=\frac {96}{V}$,解得$V=0.6,$
∴为了安全起见,气体的体积应不少于$0.6m^{3}.$

16. 已知一个反比例函数的图象经过点 $ A(-4,-3) $,$ B(2m,y_1) $,$ C(6m,y_2) $,其中 $ m ＞ 0 $.
(1) 当 $ y_1 - y_2 = 4 $ 时,求 $ m $ 的值.
(2) 如图,过点 $ B $,$ C $ 分别作 $ x $ 轴、$ y $ 轴的垂线,两垂线相交于点 $ D $,点 $ P $ 在 $ x $ 轴上.若 $ \triangle PBD $ 的面积是 $ 8 $,请写出点 $ P $ 的坐标(不需要写解答过程).

答案： 解:
(1)设反比例函数解析式为$y=\frac {k}{x},$将$A(-4,-3)$代入上式得$k=12,$$\therefore y=\frac {12}{x},$$\therefore \frac {12}{2m}-\frac {12}{6m}=4$,解得$m=1.$经检验,$m=1$是原方程的解.
∴m的值为1.
(2)点P为$(-2,0)$或$(6,0).$