《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

1. 如果两个相似多边形任意一组对应顶点$P$,$P'所在的直线都经过同一个点O$,且有$\frac{OP'}{OP}=k$($ke0$),那么这样的两个多边形叫作位似多边形,点$O$叫作位似中心,$k$就是这两个相似多边形的位似比。利用多边形的位似可以将一个多边形缩小或放大。

答案： 相似；$\frac{OP'}{OP}=k$；位似中心；位似比

2. (1)位似图形具有相似图形的一切性质；
(2)位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比。

答案：
(1)相似；
(2)等于

3. 在平面直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数$k$($ke0$),所对应的图形与原图形位似,位似中心是坐标原点,它们的相似比为|k|。

答案： 位似；坐标原点；|k|

1. 下列图形不属于位似图形的是(C)。

答案： C

2. 如果四边形$ABCD与四边形A'B'C'D'$是位似图形,且相似比为$k$,下列选项错误的是(D)。
A.$\frac{AC}{A'C'}= \frac{BD}{B'D'}= k$
B.$\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$
C.$\frac{AB + BC + CD + DA}{A'B' + B'C' + C'D' + D'A'}= k$
D.$\frac{四边形ABCD的面积}{四边形A'B'C'D'的面积}= k$

答案： D

3. 已知$\triangle ABC的3个顶点的坐标为(1,2)$,$(-2,3)$,$(-1,0)$,把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的$2$倍,得到点$A'$,$B'$,$C'$。下列说法正确的是(B)。
A.$\triangle A'B'C'与\triangle ABC$是位似图形,位似中心是点$(1,0)$
B.$\triangle A'B'C'与\triangle ABC$是位似图形,位似中心是点$(0,0)$
C.$\triangle A'B'C'与\triangle ABC$是相似图形,但不是位似图形
D.$\triangle A'B'C'与\triangle ABC$不是相似图形

答案： B

4. 如图,已知$\triangle ABC$,$A$,$B两个顶点在x$轴的上方,点$C的坐标是(1,0)$,以点$C为位似中心在x轴的下方作\triangle ABC的位似图形\triangle A'B'C$,使它与$\triangle ABC的相似比为2:1$。设点$B的横坐标是a$,则点$B的对应点B'$的横坐标是(A)。

A.$-2a + 3$
B.$-2a + 1$
C.$-2a + 2$
D.$-2a - 2$

答案： A

5. 如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC的顶点坐标为A(-1,2)$,$B(-4,3)$,$C(-3,1)$。
(1)以点$B$为位似中心,在点$B的下方画出\triangle A_1BC_1$,使$\triangle A_1BC_1与\triangle ABC$位似,且位似比为$2:1$。
(2)求四边形$CC_1A_1A$的面积。

答案：
解:
(1)如图,$\triangle A_{1}BC_{1}$即为所求.

(2)$S_{\triangle ABC}=2× 3 - 1 - 1 - \frac{3}{2}=\frac{5}{2}$
$\because \triangle A_{1}BC_{1}$与$\triangle ABC$位似,且位似比为$2:1$,
$\therefore \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A_{1}BC_{1}}}=\frac{1}{4}$,
$\therefore S_{\triangle A_{1}BC_{1}}=10$,
$\therefore S_{四边形CC_{1}A_{1}A}=S_{\triangle A_{1}BC_{1}} - S_{\triangle ABC}=10 - \frac{5}{2}=\frac{15}{2}$.