《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

1. 将函数 $ y = ax^{2}(a eq 0) $ 的图象向上平移 $ k $ 个单位长度,得到的图象的表达式为$y = ax^2 + k$；将函数 $ y = ax^{2}(a eq 0) $ 的图象向下平移 $ k $ 个单位长度,得到的图象的表达式为$y = ax^2 - k$。平移过程中不变的系数是$a$。

答案： $y = ax^2 + k$；$y = ax^2 - k$；$a$

2. 函数 $ y = ax^{2} + k(a eq 0) $ 的图象与性质：

开口方向：向上，向下；对称轴：$y$轴（或$x = 0$），$y$轴（或$x = 0$）；顶点坐标：$(0,k)$，$(0,k)$；最值：$0$，小，$k$；$0$，大，$k$；
增减性：增大，减小；减小，增大。

答案： 开口方向：向上，向下；对称轴：$y$轴（或$x = 0$），$y$轴（或$x = 0$）；顶点坐标：$(0,k)$，$(0,k)$；最值：$0$，小，$k$；$0$，大，$k$；
增减性：增大，减小；减小，增大。

1. 把二次函数 $ y = x^{2} - 1 $ 的图象向上平移 $ 3 $ 个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是$ y=x^{2}+2 $。

答案： $ y=x^{2}+2 $

2. 当 $ m = $-2时,关于 $ x $ 的二次函数 $ y = (m + 1)x^{m^{2} + m} + m $ 的图象开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,-2)。在对称轴左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；在对称轴右侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案： -2 y轴 (0,-2) 增大 减小

3. 如图,图象①②③④分别对应函数 $ y = ax^{2} $,$ y = bx^{2} $,$ y = cx^{2} $,$ y = dx^{2} $,则 $ a,b,c,d $ 的大小关系是(A)。

A.$ a ＞ b ＞ c ＞ d $
B.$ a ＞ b ＞ d ＞ c $
C.$ b ＞ a ＞ c ＞ d $
D.$ b ＞ a ＞ d ＞ c $

答案： A

4. 若关于 $ x $ 的二次函数 $ y = ax^{2} + k(a \neq 0) $ 的图象经过点 $ (1,3) $,且与 $ y = 2x^{2} $ 的图象的开口大小相同、方向相反。
(1) 求 $ a,k $ 的值。
(2) 若二次函数 $ y = ax^{2} + k(a \neq 0) $ 的图象与直线 $ y = mx + 7 $ 有且只有 $ 1 $ 个交点,求 $ m $ 的值。

答案：
(1)$ a=-2,k=5 $.
(2)$ m=\pm 4 $.