《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

1. 一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如图,如果AC² = AB·BC（或AC/AB = BC/AC）,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫作线段AB的黄金分割点,AC与AB（或BC与AC）的比叫作黄金比.

答案： AC² = AB·BC（或AC/AB = BC/AC）；黄金分割；AC与AB（或BC与AC）

2. 已知点C是线段AB的黄金分割点,$AC＞BC$,则黄金比为$\frac{AC}{AB}=$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$≈0.618.

答案： $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$≈0.618

3. 已知线段$AB= 20cm$,点C是线段AB的黄金分割点($AC＞BC$),则线段$AC= $$10\sqrt{5}-10$cm.

答案： $10\sqrt{5}-10$

1. 如图,若点C是线段AB的黄金分割点,则$\frac{AC}{AB}=$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$≈0.618,$\frac{BC}{AB}=$$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

答案： $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 0.618 $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

2. 线段$AB= 10cm$,点C是AB的黄金分割点($AC＞BC$),则$BC= $$(15-5\sqrt{5})$cm.

答案： $(15-5\sqrt{5})$

3. 已知$AB= 18cm$,点P和点Q是线段AB的两个黄金分割点,则$PQ= $$(18\sqrt{5}-36)$cm.

答案： $(18\sqrt{5}-36)$

4. 大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”.如图,P为AB的黄金分割点($AP＞PB$),下列结论正确的有(A).
①$AB^{2}= AP^{2}+BP^{2}$;
②$BP^{2}= AP\cdot BA$;
③$\frac{AP}{BP}= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$;
④$\frac{BP}{AP}= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： A

5. 在20世纪70年代,我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”,在全国大规模推广,取得了很大成果.如图,利用黄金分割法作EF,将矩形ABCD分为上下两部分,其中E为边AB的黄金分割点,即$BE^{2}= AE\cdot AB$.已知AB为2m,则线段BE的长为(B).

A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}m$
B.$(\sqrt{5}-1)m$
C.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}m$
D.$\frac{\sqrt{5}+2}{2}m$

答案： B

6. 宽与长之比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}:1$的矩形叫作“黄金矩形”.黄金矩形令人赏心悦目,给我们以协调、匀称的美感.如图,如果在黄金矩形ABCD中画正方形ABEF,那么矩形CDFE是黄金矩形吗?请说明理由.

答案： 解:矩形CDFE是黄金矩形.
理由:
∵ 四边形ABEF是正方形,
∴ AB=AF.
∵ $\frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ $\frac{AF}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
即点F是线段AD的黄金分割点,
∴ $\frac{FD}{AF}=\frac{AF}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ $\frac{FD}{DC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ 矩形CDFE是黄金矩形.