《2025年新课堂学习与探究九年级数学全一册北师大版》

8. 如图,灯塔A周围9海里内有暗礁. 一艘渔船由东向西航行至B处,测得灯塔A在北偏西58°方向上,继续航行6海里到达C处,测得灯塔A在西北方向上. 如果渔船不改变航线继续向西航行,有没有触礁的危险？
(参考数据：$\sin 32^{\circ} \approx 0.530$,$\cos 32^{\circ} \approx 0.848$,$\tan 32^{\circ} \approx 0.625$；$\sin 58^{\circ} \approx 0.848$,$\cos 58^{\circ} \approx 0.530$,$\tan 58^{\circ} \approx 1.6$,)

答案：
解:如图,过点A作$AD\perp BC$于点D. 由题意得$\angle ABC=90^\circ-58^\circ=32^\circ,\angle ACD=45^\circ,$$BC=6$海里.设$AD=x$海里.在$Rt\triangle ADB$中,$\angle ACD=45^\circ,$$\therefore AD=CD=x,BD=x+6.$在$Rt\triangle ADB$中,$\tan\angle ABD=\frac{AD}{BD}=\frac{x}{x+6}\approx0.625,$解得$x=10,\therefore AD=10$海里.$\because10＞9,\therefore$渔船没有触礁的危险.

9. 11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”. 为了提升全民防灾减灾意识,某消防大队进行了消防演习. 如图①,架在消防车上的云梯AB可伸缩(最长可伸至20 m),且可绕点B转动,其底部B离地面的距离BC为2 m,当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时,底部B到EF的距离BD为9 m.
(1)若∠ABD = 53°,求此时云梯AB的长度.
(2)如图②,若在建筑物底部E的正上方19 m处突发险情,在该消防车不移动位置的前提下,云梯能否伸到险情处？请说明理由.
(参考数据：$\sin 53^{\circ} \approx 0.8$,$\cos 53^{\circ} \approx 0.6$,$\tan 53^{\circ} \approx 1.3$,)
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答案： 解:
(1)在$Rt\triangle ABD$中,$\angle ABD=53^\circ,BD=9\ m,$$\therefore AB=\frac{BD}{\cos53^\circ}\approx\frac{9}{0.6}=15(m).$答:此时云梯AB的长度为15 m.
(2)在该消防车不移动位置的前提下,云梯能伸到险情处.理由:由题意得$DE=BC=2\ m.$$\because AE=19\ m,$$\therefore AD=AE-DE=19-2=17(m).$在$Rt\triangle ABD$中,$BD=9\ m,$$\therefore AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{17^2+9^2}=\sqrt{370}(m).$$\because\sqrt{370}＜20,$$\therefore$在该消防车不移动位置的前提下,云梯能伸到险情处.