《2025年启东中学作业本七年级数学上册苏科版连淮专版》

4. 定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数,我们就称这两个方程为“兄弟方程”.若关于 $x$ 的方程 $2x + 3m - 2 = 0$ 和 $3x - 5m + 4 = 0$ 是“兄弟方程”,则 $m=$2.

答案： 4.2

5. 定义：关于 $x$ 的方程 $ax - b = 0$ 与方程 $bx - a = 0$($a,b$ 均为不等于 $0$ 的常数)称互为“错位方程”,例如,方程 $2x - 1 = 0$ 与方程 $x - 2 = 0$ 互为“错位方程”.
(1)若关于 $x$ 的方程 $2x - 3 = 0$ 与方程 $3x - c = 0$ 互为“错位方程”,则 $c=$2；
(2)若关于 $x$ 的方程 $4x + 3m + 1 = 0$ 与方程 $5x - n + 2 = 0$ 互为“错位方程”,求 $m,n$ 的值；
解:将$4x+3m+1=0$写成$4x-(-3m-1)=0$的形式,
将$5x-n+2=0$写成$5x-(n-2)=0$的形式.
因为方程$4x+3m+1=0$与方程$5x-n+2=0$互为"错位方程",所以$-3m-1=5,n-2=4$,所以$m=-2,n=6.$
(3)若关于 $x$ 的方程 $3x - b = 0$ 与其“错位方程”的解都是整数,求整数 $b$ 的值.
解:$3x-b=0$的"错位方程"为$bx-3=0(b≠0),$
由$3x-b=0$,得$x=\frac {b}{3}$.由$bx-3=0$,得$x=\frac {3}{b}.$
因为$3x-b=0$与$bx-3=0$的解均为整数,
所以$\frac {b}{3}$与$\frac {3}{b}$都为整数.
因为b也为整数,
所以当$b=3$时,$\frac {b}{3}=1,\frac {3}{b}=1$,都为整数,
当$b=-3$时,$\frac {b}{3}=-1,\frac {3}{b}=-1$,都为整数,
所以b的值为3或-3.

答案： 5.
(1)2
(2)解:将$4x+3m+1=0$写成$4x-(-3m-1)=0$的形式,
将$5x-n+2=0$写成$5x-(n-2)=0$的形式.
因为方程$4x+3m+1=0$与方程$5x-n+2=0$互为"错位方程",所以$-3m-1=5,n-2=4$,所以$m=-2,n=6.$
(3)解:$3x-b=0$的"错位方程"为$bx-3=0(b≠0),$
由$3x-b=0$,得$x=\frac {b}{3}$.由$bx-3=0$,得$x=\frac {3}{b}.$
因为$3x-b=0$与$bx-3=0$的解均为整数,
所以$\frac {b}{3}$与$\frac {3}{b}$都为整数.
因为b也为整数,
所以当$b=3$时,$\frac {b}{3}=1,\frac {3}{b}=1$,都为整数,
当$b=-3$时,$\frac {b}{3}=-1,\frac {3}{b}=-1$,都为整数,
所以b的值为3或-3.

6. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为 $1$,我们就称这两个方程为“美好方程”.例如,方程 $4x = 8$ 和 $x + 1 = 0$ 为“美好方程”.
(1)若关于 $x$ 的方程 $3x + m = 0$ 与方程 $4x - 2 = x + 10$ 是“美好方程”,求 $m$ 的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为 $8$,其中一个解为 $n$,求 $n$ 的值；
(3)若关于 $x$ 的一元一次方程 $\frac{1}{2025}x + 3 = 2x + k$ 和 $\frac{1}{2025}x + 1 = 0$ 是“美好方程”,求关于 $y$ 的一元一次方程 $\frac{1}{2025}(y + 1)+3 = 2y + k + 2$ 的解.

答案： 6.解:
(1)解方程$3x+m=0$,得$x=-\frac {m}{3};$
解方程$4x-2=x+10$,得$x=4.$
因为关于x的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是"美好方程",
所以$-\frac {m}{3}+4=1$,解得$m=9.$
(2)两个"美好方程"的其中一个的解为n,则另一个的解为1-n.
因为"美好方程"的两个解的差为8,
所以$n-(1-n)=8$或$(1-n)-n=8,$
解得$n=\frac {9}{2}$或$n=-\frac {7}{2}.$
(3)因为$\frac {1}{2025}x+1=0$,所以$x=-2025.$
因为关于x的一元一次方程$\frac {1}{2025}x+3=2x+k$和$\frac {1}{2025}x+1=0$是"美好方程",
所以关于x的一元一次方程$\frac {1}{2025}x+3=2x+k$的解为$x=1-(-2025)=2026.$
因为关于y的一元一次方程$\frac {1}{2025}(y+1)+3=2y+k+2$可化为$\frac {1}{2025}(y+1)+3=2(y+1)+k,$
所以$y+1=x=2026$,所以$y=2025.$