《2025年精彩练习就练这一本九年级数学全一册浙教版评议教辅》

【例1】已知二次函数的图象过点$P(1,4)$,对称轴为直线$x= 2$,则这个函数图象必过点(D)
A.$(-1,4)$
B.$(0,3)$
C.$(2,4)$
D.$(3,4)$

答案： D

【变式】二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y$的部分对应值如下表：

则这个函数图象的顶点坐标是(A)
A.$(2,-1)$
B.$(-1,2)$
C.$(-1,8)$
D.$(4,3)$

答案： A

【例2】已知二次函数$y= x^{2}+2x$.
(1)写出该二次函数图象的对称轴.
(2)已知该函数图象经过$A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$两个不同的点.
①当$x_{1}= 3n+4$,$x_{2}= 2n-1$,且$y_{1}= y_{2}$时,求$n$的值.
②当$x_{1}＞-1$,$x_{2}＞-1$时,求证：$(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})＞0$.

答案： 解:
(1)
∵y=x²+2x=(x+1)²-1,
∴抛物线的对称轴为直线x=-1.
(2)①由抛物线的对称性可得当y₁=y₂时,A,B两点关于对称轴对称,
∴(3n+4+2n-1)/2=-1,解得n=-1.
②证明:
∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=-1,
∴当x＞-1时,y随x增大而增大,
∴当x₁＞x₂时,y₁＞y₂,
∴(x₁-x₂)(y₁-y₂)＞0;
当x₁＜x₂时,y₁＜y₂,
∴(x₁-x₂)(y₁-y₂)＞0.

【变式】已知二次函数$y= ax^{2}-6ax+a-b(a≠0)$的图象与平行于x轴的直线l交于A,B两点,其中点A的坐标为(-1,2),则点B的坐标为(7,2).

答案： (7,2)

【例3】已知二次函数$y= -\frac{1}{2}x^{2}+bx+3$,当$x＞1$时,$y随x$的增大而减小,则$b$的取值范围是(D)
A.$b\geq-1$
B.$b\leq-1$
C.$b\geq1$
D.$b\leq1$

答案： D

【变式】当$x\geq m$时,两个函数$y_{1}= -(x-4)^{2}+2$和$y_{2}= -(x-3)^{2}+1$的函数值都随着$x$的增大而减小,则$m$的最小值为4.

答案： 4

【例4】二次函数$y= ax^{2}-4ax+c(a＞0)的图象过A(-2,y_{1})$,$B(0,y_{2})$,$C(3,y_{3})$,$D(5,y_{4})$四个点,下列说法中一定正确的是(C)
A.若$y_{1}y_{2}＞0$,则$y_{3}y_{4}＞0$
B.若$y_{1}y_{4}＞0$,则$y_{2}y_{3}＞0$
C.若$y_{2}y_{4}＜0$,则$y_{1}y_{3}＜0$
D.若$y_{3}y_{4}＜0$,则$y_{1}y_{2}＜0$

答案： C 【解析】
∵y=ax²-4ax+c,
∴抛物线的对称轴为直线x=-(-4a)/(2a)=2,
∵a＞0,
∴抛物线开口向上,
∵2-(-2)＞5-2＞2-0＞3-2,
∴y₁＞y₄＞y₂＞y₃.
若y₁＞y₄＞y₂＞0＞y₃,则y₁y₂＞0,y₃y₄＜0,选项A错误.
若y₁＞y₄＞y₂＞0＞y₃,则y₁y₄＞0,y₂y₃＜0,选项B错误.
若y₂y₄＜0,则y₁＞y₄＞0＞y₂＞y₃,
∴y₁y₃＜0,选项C正确.
若y₁＞y₄＞y₂＞0＞y₃,则y₃y₄＜0,y₁y₂＞0,选项D错误.

【变式】已知二次函数$y= ax^{2}-4ax(a≠0)$.若$P(1,p)$,$Q(1+a,q)都在函数y$的图象上,且$p＞q$.求$a$的取值范围.

答案： $a ＜ 2$且$a \neq 0$
步骤如下：
1. 求$p$和$q$：
二次函数$y = ax^2 - 4ax$，
点$P(1,p)$代入得：$p = a(1)^2 - 4a(1) = -3a$；
点$Q(1+a,q)$代入得：$q = a(1+a)^2 - 4a(1+a) = a^3 - 2a^2 - 3a$。
2. 由$p ＞ q$列不等式：
$-3a ＞ a^3 - 2a^2 - 3a$，
化简得：$0 ＞ a^3 - 2a^2$，即$a^2(a - 2) ＜ 0$。
3. 解不等式：
$\because a \neq 0$，$\therefore a^2 ＞ 0$，
$\therefore a - 2 ＜ 0$，即$a ＜ 2$。
又$a \neq 0$（二次函数$a \neq 0$）。
结论： $a ＜ 2$且$a \neq 0$。