《2025年精彩练习就练这一本九年级数学全一册浙教版评议教辅》

【例1】已知二次函数$y= ax^2+2x+c(a≠0)$的图象如下图所示.
(1)写出c的值.
(2)求出函数的表达式.

答案：
(1)
∵二次函数$y=ax^{2}+2x+c(a≠0)$的图象经过点$(0,3)$,
∴将点$(0,3)$的坐标代入$y=ax^{2}+2x+c(a≠0)$,得$c=3.$
(2)由题意,函数的表达式为$y=ax^{2}+2x+3(a≠0)$,
∵函数图象经过点$A(3,0)$,
∴把点$A(3,0)$的坐标代入$y=ax^{2}+2x+3(a≠0)$,得$a=-1$,
∴函数的表达式为$y=-x^{2}+2x+3.$

【变式】已知二次函数$y= x^2+bx+c的图象经过点A(-1,12),B(2,-3)$,则该二次函数的表达式为$y=x^{2}-6x+5$.

答案： $y=x^{2}-6x+5$

【例2】在平面直角坐标系中,设二次函数$y= (x+a)(x-a-1)$,其中$a≠0$. 若函数y的图象经过点$(1,-2)$,求函数y的表达式.

答案：
∵函数y的图象经过点$(1,-2)$,所以$(a+1)(-a)=-2$,解得$a_{1}=-2,a_{2}=1$,当$a=-2$时,函数y的表达式为$y=(x-2)(x+2-1)$,化简得$y=x^{2}-x-2;$当$a=1$时,函数y的表达式为$y=(x+1)(x-2)$,化简得$y=x^{2}-x-2.$综上所述,函数y的表达式为$y=x^{2}-x-2.$

【例3】已知二次函数的图象经过点$(1,10)$,且$(-1,-2)$是函数图象的最低点,求这个函数的表达式.

答案： 由题意知,抛物线的顶点坐标为$(-1,-2)$,设二次函数的表达式为$y=a(x+1)^{2}-2(a≠0).$
∵抛物线过点$(1,10),$
∴$a(1+1)^{2}-2=10$,解得$a=3,$故二次函数的表达式为$y=3(x+1)^{2}-2.$

【变式】已知二次函数图象的顶点坐标为$(2,0)$,与y轴的交点为$(0,1)$,那么点$(-m,2m-1)$不在该二次函数的图象上.(填“在”或“不在”)

答案： 不在【解析】点$(-m,2m-1)$不在该二次函数的图象上.理由如下:根据题意,可设二次函数的表达式为$y=a(x-2)^{2}(a≠0),$将$(0,1)$代入,得$4a=1$,解得$a=\frac {1}{4},$故该二次函数的表达式为$y=\frac {1}{4}(x-2)^{2}.$若点$(-m,2m-1)$在$y=\frac {1}{4}(x-2)^{2}$的图象上，则$\frac {1}{4}(-m-2)^{2}=2m-1$,整理得$m^{2}-4m+8=0.$$\because △=(-4)^{2}-4×8=-16＜0$,
∴方程无解,故点$(-m,2m-1)$不在该二次函数的图象上.

【例4】若二次函数$y= ax^2+4ax+c$的最大值为4,且图象过点$(-3,0)$.
(1)求该二次函数的表达式.
(2)将已知二次函数的图象先向右平移1个单位,再向上平移3个单位,求平移后的图象对应的函数表达式.

答案：
(1)
∵二次函数图象的对称轴是直线$x=-\frac {4a}{2a}=-2$,
∴该二次函数图象的顶点坐标为$(-2,4).$设该二次函数的表达式为$y=a(x+2)^{2}+4.$把点$(-3,0)$代入，得$a(-3+2)^{2}+4=0$,解得$a=-4$,
∴该二次函数的表达式为$y=-4(x+2)^{2}+4.$
(2)$y=-4(x+1)^{2}+7.$