《2025年精彩练习就练这一本九年级数学全一册浙教版评议教辅》

9. 如图,AD 与 BC 相交于点 O,∠A= ∠C,AO= 4,CO= 2,AB= 6,求 CD 的长.

答案： 解:
∵∠A=∠C,∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△COD,
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}$,即$\frac{6}{CD}=\frac{4}{2}$,
解得CD=3,即CD的长为3.

10. 如图,⊙O 的内接四边形 ABCD 的一组对边 AD 和 BC 延长后相交于点 P,对角线 AC 和 BD 相交于点 E,则图中共有相似三角形(D)

A.1 对
B.2 对
C.3 对
D.4 对

答案： D【解析】
∵∠DAE=∠CBE,∠BCE=∠ADE,
∴△DAE∽△CBE,同理可得,△DCE∽△ABE.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠PDC=∠PBA,∠PCD=∠PAB,
∴△PCD∽△PAB.
∵∠DPB=∠CPA,∠PBD=∠PAC,
∴△PBD∽△PAC.
综上,共有4对相似三角形.

11. 已知在平行四边形 ABCD 中,点 E 在直线 AD 上,AE= $\frac{1}{3}$AD,连结 CE 交 BD 于点 F,则 EF：FC 的值是______.

答案：
$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$【解析】
∵AE=$\frac{1}{3}$AD,
∴分两种情况:
①当点E在线段AD上时,如图1所示.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,
∴∠DEF=∠BCF,∠EDF=∠CBF,
∴△EFD∽△CFB,
∴EF:FC=DE:BC.
∵AE=$\frac{1}{3}$AD,
∴DE=2AE=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2}{3}$BC,
∴DE:BC=2:3,
∴EF:FC=2:3.

②当点E在线段DA的延长线上时,如图2所示.
同①得△EFD∽△CFB,
∴EF:FC=DE:BC.
∵AE=$\frac{1}{3}$AD,
∴DE=4AE=$\frac{4}{3}$AD=$\frac{4}{3}$BC,
∴DE:BC=4:3,
∴EF:FC=4:3.
综上所述,EF:FC的值是$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$.

12. 如图,四边形 ABCD 是正方形,点 G 为边 CD 上一点,连结 AG 并延长,交 BC 的延长线于点 F,连结 BD 交 AF 于点 E,连结 EC. 求证：
(1)∠DAE= ∠DCE.
(2)△EGC∽△ECF.

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ADE=∠CDE=45°,AD//BC.
在△ADE和△CDE中,
$\left\{\begin{array}{l}AD=CD,\\ \angle ADE=\angle CDE,\\ DE=DE,\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CDE(SAS),
∴∠DAE=∠DCE.
(2)
∵AD//CF,
∴∠DAE=∠F,
∴∠DCE=∠F.
又
∵∠CEG=∠FEC,
∴△EGC∽△ECF.

13. 如图,在矩形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,DF⊥AE,垂足为 F.
(1)求证：△ABE∽△DFA.
(2)若 AB= 6,BC= 4,求 DF 的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD//BC,∠B=90°,
∴∠DAF=∠AEB.
∵DF⊥AE,
∴∠AFD=∠B=90°,
∴△ABE∽△DFA.
(2)
∵E是BC的中点,BC=4,
∴BE=2.
∵AB=6,
∴AE=$\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=4.
∵△ABE∽△DFA,
∴$\frac{AB}{DF}=\frac{AE}{AD}$,
∴DF=$\frac{AB\cdot AD}{AE}=\frac{6×4}{2\sqrt{10}}=\frac{6}{5}\sqrt{10}$.