《2025年精彩练习就练这一本九年级数学全一册浙教版评议教辅》

8. 如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB＞AD,E,F 分别是 AB,DC 的中点,将矩形 ABCD 沿 EF 所在直线对折,若得到的两个小矩形都和矩形 ABCD 相似,则用等式表示 AB 与 AD 的数量关系为AB=$\sqrt{2}$AD.

答案： 8. AB=$\sqrt{2}$AD 【解析】
∵E,F 分别是 AB,DC 的中点,
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB.
由于 AB＞AD,
∴矩形 ADFE∽矩形 ABCD,
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AD}{AE}$,
∴$\frac{1}{2}AB^{2}=AD^{2}$,
∴AB=$\sqrt{2}$AD.

9. 如图,将矩形 ABCD 沿 EF 折叠,使顶点 C 恰好落在 AB 边的 C'处,点 D 落在点 D'处,C'D'交线段 AE 于点 G.
(1)求证：$\triangle BC'F \sim \triangle AGC'$.
(2)若 C'是 AB 的中点,AB= 6,BC= 9,求 AG 的长.

答案： 9. 解:
(1)证明:由题意可知∠A=∠B=∠GC'F=90°,
∴∠BFC'+∠BC'F=90°,∠AC'G+∠BC'F=90°,
∴∠BFC'=∠AC'G,
∴△BC'F∽△AGC'.
(2)在 Rt△BFC'中,
∵C'是 AB 的中点,AB=6,
∴AC'=BC'=3.
由勾股定理,得 BF²+3²=(9 - BF)²,
∴BF=4.
由
(1)得△BC'F∽△AGC',
∴$\frac{AG}{BC'}=\frac{AC'}{BF}$,即$\frac{AG}{3}=\frac{3}{4}$,
∴AG=$\frac{9}{4}$.

10. 如图,已知 BE 是$\triangle ABC的外接圆\odot O$的直径,CD 是$\triangle ABC$的高.
(1)求证：AC·BC= BE·CD.
(2)已知 CD= 6,AD= 3,BD= 8,求$\odot O$的直径 BE 的长.

答案：
10. 解:
(1)证明:如图,连结 CE.
∵BE 是⊙O 的直径,
∴∠ECB=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
∴∠ECB=∠ADC.
又
∵∠A=∠E,
∴△ADC∽△ECB,
∴$\frac{AC}{EB}=\frac{DC}{CB}$,
∴AC·BC=BE·CD.
(2)
∵CD=6,AD=3,BD=8,
∴BC=$\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$,
AC=$\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{3^{2}+6^{2}}=3\sqrt{5}$.
∵AC·BC=BE·CD,
∴$3\sqrt{5}×10=BE×6$.
∴BE=$5\sqrt{5}$,
∴⊙O 的直径 BE 的长是$5\sqrt{5}$.