《2025年精彩练习就练这一本九年级数学全一册浙教版评议教辅》

【例 5】如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle A= 90^\circ$,AB= 8,AC= 6.若动点 D 从点 B 出发,沿线段 BA 运动到点 A 停止,运动速度为每秒 2 个单位长度.过点 D 作 DE$//$BC 交 AC 于点 E,设动点 D 运动的时间为 x 秒,AE 的长为 y.
(1)求出 y 关于 x 的函数表达式,并写出自变量 x 的取值范围.
(2)当 x 为何值时,$\triangle BDE$的面积 S 有最大值？最大值为多少？

答案： 解:
(1)
∵DE//BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
又
∵AD=8 - 2x,AB=8,AE=y,AC=6,
∴$\frac{8 - 2x}{8}=\frac{y}{6}$.
∴y=$-\frac{3}{2}x+6$,
自变量 x 的取值范围为 0≤x≤4.
(2)S=$\frac{1}{2}$BD·AE=$\frac{1}{2}$·2x·y
=$-\frac{3}{2}x^{2}+6x=-\frac{3}{2}(x - 2)^{2}+6$.
∴当 x=2 时,S 有最大值,且最大值为 6.

【变式】如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3,BC= 4,动点 P 从点 B 出发,在 BC 上移动至点 C 停止,记 PA= x,点 D 到直线 PA 的距离为 y,求 y 关于 x 的函数表达式.

答案： 解:在矩形 ABCD 中,
∵AD//BC,
∴∠DAE=∠APB.
又
∵∠AED=∠B=90°,
∴△DEA∽△ABP.
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{AD}{PA}$.又 AD=BC=4,
∴$\frac{y}{3}=\frac{4}{x}$.
∴y=$\frac{12}{x}$.

【例 6】如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B= 90°$,AB= 6,BC= 8,D 是边 AC 上一点.将$\triangle DEC$沿 DE 折叠,使点 C 落在 AB 边上的 C'处,并且 C'D$//$BC,则 CD 的长是$\frac{40}{9}$.

答案： $\frac{40}{9}$

【变式】如图,在平面直角坐标系中,已知 OA= 6 厘米,OB= 8 厘米.点 P 从点 B 开始沿 BA 边向终点 A 以 1 厘米/秒的速度移动；点 Q 从点 A 开始沿 AO 边向终点 O 以 1 厘米/秒的速度移动.当一个点停止移动时,另一个点也停止移动.若点 P,Q 同时出发,运动时间为 t 秒.
(1)当 t 为何值时,以 A,P,Q 为顶点的三角形与$\triangle AOB$相似？
(2)当 t 为何值时,$\triangle APQ$的面积为 8 平方厘米？

答案：
解:
(1)
∵OA=6 厘米,OB=8 厘米,OA⊥OB,
∴AB=10 厘米.
∵点 P 的速度是 1 厘米/秒,点 Q 的速度是 1 厘米/秒,
∴AQ=t,AP=10 - t.
①当∠APQ 是直角时,△APQ∽△AOB,$\frac{10 - t}{6}=\frac{t}{10}$,解得 t=$\frac{25}{4}$＞6,舍去;
②当∠AQP 是直角时,△AQP∽△AOB,$\frac{t}{6}=\frac{10 - t}{10}$,解得 t=$\frac{15}{4}$.
综上所述,当 t=$\frac{15}{4}$秒时,以 A,P,Q 为顶点的三角形与△AOB 相似.
(2)如图,过点 P 作 PC⊥OA 于点 C,
则 PC=$\frac{4}{5}(10 - t)$,
∴△APQ 的面积=$\frac{1}{2}×t×\frac{4}{5}(10 - t)=8$.
整理,得$t^{2}-10t+20=0$,解得 t=5+$\sqrt{5}$＞6(舍去)或 t=5 - $\sqrt{5}$.
故当 t=5 - $\sqrt{5}$时,△APQ 的面积为 8 平方厘米.