《2025年精彩练习就练这一本九年级数学全一册浙教版评议教辅》

【例1】为了测量河宽AB,某同学采用以下方法：如图,取一根标尺CD,使CD//AB,并使点B,D,O和点A,C,O分别在同一条直线上,量得CD= 10米,OC= 15米,OA= 45米,则河宽AB= 30米.

答案： 30

【变式】如图,△ADE∽△ACB,BC= 5,$S_{\triangle ADE}:S_{四边形BCED}= 9:16$,则DE= 3.

答案： 3

【例2】如图,AB//CD,AD与BC相交于点O,AB：CD= 1：2,OB= 2,那么BC= (C)

A.4
B.5
C.6
D.8

答案： C

【变式】如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,AF与DE相交于点G,则$\frac{AG}{FG}$的值是( )


A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{3}{5}$

答案：
A　[解析]如图所示,延长DE,CB相交于点H.
　　　　　
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AD=BC,
∴∠ADE=∠H,且AE=BE,∠AED=∠BEH,
∴△ADE≌△BHE(AAS),
∴BH=AD.
∵F是BC的中点,
∴BF=$\frac{1}{2}$BC,
∴HF=BH+BF=$\frac{3}{2}$BC=$\frac{3}{2}$AD.
∵AD//HF,
∴△ADG∽△FHG,
∴$\frac{AG}{FG}$=$\frac{AD}{HF}$=$\frac{AD}{\frac{3}{2}AD}$ = $\frac{2}{3}$.

【例3】如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,CD是斜边AB上的高,AC= 3,BC= 4.
(1)求CD和AD的长.
(2)求证：AC是AD和AB的比例中项.

答案：
(1)
∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
∴AB= $\sqrt{AC^2+BC^2}$ =5.
∵$S_{\triangle ABC}$ = $\frac{1}{2}$AC·BC= $\frac{1}{2}$AB·CD,
∴CD= $\frac{AC·BC}{AB}$ = $\frac{12}{5}$.
∵CD是斜边AB上的高,
∴∠ADC=90°,
∴AD= $\sqrt{AC^2-CD^2}$ = $\frac{9}{5}$.
(2)证明:
∵∠ADC=∠ACB=90°,∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC,
∴$\frac{AD}{AC}$ = $\frac{AC}{AB}$,
∴AC²=AD·AB,
∴AC是AD和AB的比例中项.

【变式】如图,△ACP∽△ABC,若∠A= 100°,∠ACP= 20°,则∠PCB的度数是(C)

A.60°
B.50°
C.40°
D.30°

答案： C

【例4】如图,在边长为12的正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,其中E,F,G分别在AB,BC,FD上.若BF= 3,则小正方形的边长为(A)

A.$\frac{15}{4}$
B.$2\sqrt{3}$
C.5
D.6

答案： A