《2025年精彩练习就练这一本九年级数学全一册浙教版评议教辅》

【例 3】操场上有一根竖直的旗杆 AB,它的一部分影子(BC)落在水平地面上,另一部分影子(CD)落在对面的墙壁上,经测量,墙壁上的影高为 1.2 m,地面上的影长为 2.8 m,同时测得一根高为 2 m 的竹竿 OM 的影长是 ON= 1.4 m,则根据以上信息,可以求得旗杆的高度是(C)

A.4.5 m
B.104.7 m
C.5.2 m
D.5.7 m

答案： C

【变式】“计里画方”(比例缩放和直角坐标网格体系)是中国古代地图制图的基本方法和数学基础,是中国古代地图独立发展的重要标志.制作地图时,人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离.如图,在测量距离 AB 的示意图中,记照板“内芯”的高度为 EF.观测者的眼睛(图中用点 C 表示)与 BF 在同一水平线上,若某次测量中$\frac{CF}{BF}= \frac{1}{5}$,则下列结论中错误的是 (C)

A.$\frac{CE}{AE}= \frac{1}{5}$
B.$\frac{EF}{AB}= \frac{1}{6}$
C.$\frac{CF}{CE}= \frac{1}{2}$
D.$\frac{S_{\triangle CEF}}{S_{\triangle CAB}}= \frac{1}{36}$

答案： C

【例 4】如图,四边形 ABCD 内接于半圆 O,AB 是直径,C 是$\widehat{BD}$的中点,延长 AD,BC 交于点 E.
(1)求证：CE= CD.
(2)若 AB= 5,BC= $\sqrt{5}$,求 AD 的长.

答案：
解:
(1)证明:连结 AC,如图 1.
∵C 是 BD 的中点,
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$,
∴∠EAC=∠BAC,CD=CB.
∵AB 是直径,
∴∠ACE=∠ACB=90°.
在△ACE 与△ACB 中,
$\left\{\begin{array}{l} ∠EAC=∠BAC,\\ AC=AC,\\ ∠ACE=∠ACB,\end{array}\right. $
∴△ACE≌△ACB(ASA),
∴BC=EC,
∴CD=CE.

(2)连结 BD,如图 2.
由
(1)知,CE=BC=$\sqrt{5}$,
∴BE=BC+CE=$2\sqrt{5}$.
∵四边形 ABCD 内接于半圆 O,
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠ADC+∠CDE=180°,
∴∠ABC=∠CDE.
∵CE=CD,
∴∠E=∠CDE=∠ABC.
∵AB 为半圆 O 的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠BDE=90°.
∵∠ACB=∠BDE=90°,∠ABC=∠E,
∴△ABC∽△BED.
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{ED}$,
∴$\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{ED}$,
∴ED=2.
∵△ACE≌△ACB,
∴AE=AB=5,
∴AD=AE - ED=5 - 2=3.

【变式】如图,AD 是$\odot O$的直径,以 A 为圆心,弦 AB 为半径画弧交$\odot O$于点 C,连结 BC 交 AD 于点 E,若 DE= 3,BC= 8,则$\odot O$的半径长为 ( )


A.$\frac{25}{6}$
B.5
C.$\frac{16}{3}$
D.$\frac{25}{3}$

答案：
变式 A 【解析】连结 AC.
由题意,易得 AC=AB,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,
∠ADB=∠ABE.
∵AD 为直径,
∴AD⊥BC,
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=4,∠BEA=∠BED=90°.
而∠BDE=∠ABE.
∴Rt△ABE∽Rt△BDE,
∴BE:DE=AE:BE,即 4:3=AE:4,
∴AE=$\frac{16}{3}$.
∴AD=AE+DE=$\frac{16}{3}+3=\frac{25}{3}$,
∴⊙O 的半径长为$\frac{25}{6}$.