《2025年精彩练习就练这一本九年级数学全一册浙教版评议教辅》

【例4】如图,在⊙O中,M为半径OA上一点.过点M作弦BC⊥OA,交⊙O于B,C两点.连结BO并延长,交⊙O于点D,连结AD交BC于点E.已知EB＝ED.
(1)求证：$\widehat{CD}= 60^\circ$.
(2)探究线段CE,EM长度之间的数量关系,并证明.

答案：
解:
(1)证明:如图，连结OC，
∵BC⊥OA，
∴$\stackrel{\frown }{AB}=\stackrel{\frown }{AC}$．
∵EB=ED,
　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠B=∠D，
∴$\stackrel{\frown }{CD}=\stackrel{\frown }{AB}$，
∴$\stackrel{\frown }{CD}=\stackrel{\frown }{AB}=\stackrel{\frown }{AC}$，
∴∠COD=60°，
∴$\stackrel{\frown }{CD}=60°$．
(2)CE=2EM,
　　证明:连结AC,
∵∠COD=60°,
∴∠B=∠D=$\frac{1}{2}$∠COD=30°,
∴∠EAC=∠ECA=∠B=30°,
∴AE=CE.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠D=30°,
∴AE=2EM,
∴CE=2EM.

【变式1】如图,AB,AC是⊙O的两条弦,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,连结OB,OC.若∠DOE＝140°,则∠BOC的度数为(B)

A.70°
B.80°
C.90°
D.100°

答案： B

【变式2】如图,圆的两条弦AC,BD相交于点P,$\widehat{AmB}$,$\widehat{CnD}$的度数分别为α,β,∠APB的度数为γ,则α,β和γ之间的数量关系为γ=$\frac{1}{2}$(α+β).

答案： γ=$\frac{1}{2}$(α+β)

【变式3】如图,BC是⊙O的直径,P是⊙O上一点,A是$\widehat{BP}$的中点,AD⊥BC于点D,BP与AD相交于点E.若AC＝8,BC＝10.
(1)求AB的长.
(2)求证：AE＝BE.

答案： 解:
(1)
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°.
∵AC=8,BC=10,
∴AB= $\sqrt{10^2 - 8^2}$=6.
(2)证明:
∵A是$\stackrel{\frown }{BP}$的中点,AD⊥BC于点D,
∴∠ABP=∠ACB.
∵∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴∠BAD+∠ABC=∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠BAD=∠ACB,
∴∠BAD=∠ABP,
∴AE=BE.

【例5】如图,AB为⊙O的直径,C,D是⊙O上的两点,连结CA,CD,AD.若∠CAB＝40°,则∠ADC的度数是(B)

A.110°
B.130°
C.140°
D.160°

答案： B