《2025年精彩练习就练这一本九年级数学全一册浙教版评议教辅》

9. 如图,四边形 $ABCD内接于\odot O$,$E$,$F$ 分别在 $AB$,$DC$ 的延长线上,且$\angle F + \angle EBC = 180^{\circ}$,求证：$EF// AD$.

答案： 证明：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠D=180°.
∵∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠EBC=∠D.
∵∠F+∠EBC=180°，
∴∠F+∠D=180°，
∴EF//AD.

10. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,$\odot O$的半径为 2,$AB= 2\sqrt{2}$,$CB= 2\sqrt{3}$,则$\angle ADC$的度数是(B)


A.$100^{\circ}$
B.$105^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

答案： B【解析】过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连结OB(图略)，
则AE=BE= $\frac{1}{2}$AB= $\sqrt{2}$，BF=CF= $\frac{1}{2}$BC= $\sqrt{3}$，
OB=2，
∴∠OBE=45°，∠OBF=30°，
∴∠ABC=∠OBE+∠OBF=75°.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ADC=180°-75°=105°.

11. 如图,已知$\odot O$的半径为 2,$\triangle ABC内接于\odot O$,$\angle ACB= 135^{\circ}$,则 $AB= $2$\sqrt{2}$.

答案： 2$\sqrt{2}$

12. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,$AM\perp CB$交 $CB$ 的延长线于点 $M$,$BA$ 平分$\angle MBD$,连结 $BD$,若 $AM = 4$,$AD= 4\sqrt{3}$,则 $MC$ 的长为______.

答案：
4$\sqrt{2}$【解析】连结AC，如图，

∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°.
∵∠ABM+∠ABC=180°，
∴∠ABM=∠ADC.
∵BA平分∠MBD，
∴∠ABD=∠ABM.
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD=4$\sqrt{3}$.
∵AM⊥BC，
∴∠AMC=90°.
在Rt△AMC中，MC= $\sqrt{AC^2-AM^2}$= $\sqrt{(4\sqrt{3})^2-4^2}$=4$\sqrt{2}$.

13. 如图,圆内接四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $E$,$BD$ 平分$\angle ABC$,$\angle BAC= \angle ADB$.
(1)求$\angle BAD$的度数.
(2)过点 $C$ 作 $CF// AD$ 交 $AB$ 的延长线于点 $F$,若 $AC= AD$,$BF= 2$,求此圆半径的长.

答案： 解：
(1)
∵∠BAC=∠ADB，∠BAC=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB，
∴$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{CB}$.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴$\overset{\frown}{AD}$=$\overset{\frown}{CD}$，
∴∠BAD=∠BCD，
∴BD是圆的直径，
∴∠BAD=90°.
(2)
∵$\overset{\frown}{AD}$=$\overset{\frown}{CD}$，
∴AD=CD.
∵AC=AD，
∴AC=CD=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=∠CAD=60°，
∴∠ABD=∠CBD=60°，
∴∠FBC=60°.
∵CF//AD，
∴∠F+∠BAD=180°，
∴∠F=90°，
∴∠BCF=30°.
∵BF=2，
∴BC=2BF=4.
∵∠BCD=90°，∠BDC=30°，
∴BD=2BC=8，
∴圆的半径长是4.