《2025年启东中学作业本七年级数学上册江苏版》

12. (8分)已知关于$x的多项式x^{4} + 2ax^{3} - 9 + x^{3} - bx^{2} + 4x^{3}中不含x^{3}与x^{2}$的项.求代数式$3(a^{2} - 2b^{2} - 2) - 2(a^{2} - 2b^{2} - 3)$的值.

答案： 解：x⁴ + 2ax³ - 9 + x³ - bx² + 4x³ = x⁴ + (2a + 1 + 4)x³ - bx² - 9，因为多项式中不含x³与x²的项，所以2a + 1 + 4 = 0，-b = 0，所以a = -2.5，b = 0，所以3(a² - 2b² - 2) - 2(a² - 2b² - 3)= 3a² - 6b² - 6 - 2a² + 4b² + 6= a² - 2b² = (-2.5)² - 2×0² = 6.25。

13. (10分)化简：$(□x^{2} + 6x + 8) - (6x + 5x^{2} + 2)$.小亮在做题时发现系数“□”印刷不清楚.
(1)他把“□”猜成3,请你化简：$(3x^{2} + 6x + 8) - (6x + 5x^{2} + 2)$；
(2)他妈妈说：“你猜错了,我看到这道题的标准答案是常数.”通过计算说明原题中“□”是几？

答案： 解：
(1)(3x² + 6x + 8) - (6x + 5x² + 2)= 3x² + 6x + 8 - 6x - 5x² - 2= -2x² + 6。
(2)设“□”是a，则原式=(ax² + 6x + 8) - (6x + 5x² + 2)= ax² + 6x + 8 - 6x - 5x² - 2= (a - 5)x² + 6，因为标准答案是常数，所以a - 5 = 0，解得a = 5。即“□”是 5。

14. (10分)如图,一个长方形运动场被分隔成$A,B,A,B,C$共5个区,$A区是边长为a\ m$的正方形,$C区是边长为b\ m$的正方形.
(1)列式表示每个$B$区长方形场地的周长,并将式子化简；
(2)列式表示整个长方形运动场的周长,并将式子化简；
(3)如果$a = 20,b = 10$,求整个长方形运动场的面积.

答案： 解：
(1)由题意，得B区的长为(a + b)m，宽为(a - b)m，所以每个B区长方形场地的周长为2[(a + b) + (a - b)] = 2(a + b + a - b) = 4a(m)。
(2)整个长方形运动场的周长为2[(a + a + b) + (a + a - b)] = 2(a + a + b + a + a - b) = 8a(m)。
(3)当a = 20，b = 10时，整个长方形运动场的长为a + a + b = 50(m)，宽为a + a - b = 30(m)，所以整个长方形运动场的面积为50×30 = 1500(m²)。

15. (14分)某商场销售一种微波炉和电磁炉,微波炉每台定价800元,电磁炉每台定价200元.“十一”期间商场决定开展促销活动,活动期间向客户提供两种优惠方案.
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款.
现某客户要到该商场购买微波炉10台,电磁炉$x$台($x\gt10$).
(1)若该客户按方案一购买,需付款200x + 6000元；若该客户按方案二购买,需付款180x + 7200元；(均用含$x$的代数式表示)
(2)若$x = 30$,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算；
(3)当$x = 30$时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案,并计算需付款多少元.
(2)解：当x = 30时，方案一：200×30 + 6000 = 12000(元)，方案二：180×30 + 7200 = 12600(元)。因为12000 ＜ 12600，所以按方案一购买较为合算。(3)解：先按方案一购买 10 台微波炉送 10 台电磁炉，再按方案二购买 20 台电磁炉。需付款800×10 + 200×(30 - 10)×90% = 11600(元)。

答案：
(1)(200x + 6000) (180x + 7200)
(2)解：当x = 30时，方案一：200×30 + 6000 = 12000(元)，方案二：180×30 + 7200 = 12600(元)。因为12000 ＜ 12600，所以按方案一购买较为合算。
(3)解：先按方案一购买 10 台微波炉送 10 台电磁炉，再按方案二购买 20 台电磁炉。需付款800×10 + 200×(30 - 10)×90% = 11600(元)。