《2025年启东中学作业本七年级数学上册江苏版》

10. (1)观察下列各数:1,$\frac{4}{3}$,$\frac{9}{7}$,$\frac{16}{15}$,…,按照这样的规律,第 5 个数为$\frac{25}{31}$;
(2)如图,一个点表示一个数,不同位置的点表示不同的数,每行各点所表示的数自左向右按从小到大的顺序排列,且相邻两个点所表示的数相差 1,每行数的和等于右边相应的数字.那么表示 2025 的点在第45行,从左向右第89个位置.

答案：
(1)$\frac{25}{31}$
(2)45 89

11. (1)某校暑假组织该校“三好学生”去北京旅游,由 3 名老师带队,甲旅行社说:“如果带队老师买全票,则学生可享受半价优惠”,乙旅行社说:“包括带队老师在内全部按全票价的 6 折优惠”.若一个人的全票价是 800 元,设学生人数为 x,分别计算两家旅行社的费用;
(2)一种商品每件成本为 a 元,原来按成本增加 20%定价,现在由于库存积压进行降价,按原价的 85%出售.原来每件售价多少元? 现在每件售价多少元? 现在每件盈利多少元?

答案： 解：
(1)选择甲旅行社的费用为 $3×800 + 800x×0.5=(2400 + 400x)$ 元；选择乙旅行社的费用为 $800×(x + 3)×0.6=(480x + 1440)$ 元。
(2)原来每件售价为 $(1 + 20\%)a = 1.2a$ (元)，现在每件售价为 $1.2a×85\% = 1.02a$ (元)，现在每件盈利 $1.02a - a = 0.02a$ (元)。

12. 观察下列等式:
①$2^{2}-2^{1}= 4-2= 2^{1}$;
②$2^{3}-2^{2}= 8-4= 2^{2}$;
③$2^{4}-2^{3}= 16-8= 2^{3}$;
④______;
……
(1)请写出第④个等式:$2^{5}-2^{4}=32 - 16 = 2^{4}$;
(2)根据你发现的规律,用含字母 n 的式子表示第 n 个等式:$2^{n + 1}-2^{n}=2^{n}$;
(3)请利用上述规律计算:$2^{1}+2^{2}+…+2^{100}$.
解：因为 $2^{2}-2^{1}=4 - 2 = 2^{1}$，$2^{3}-2^{2}=8 - 4 = 2^{2}$，…，$2^{101}-2^{100}=2^{100}$，所以原式 $=2^{2}-2^{1}+2^{3}-2^{2}+\cdots+2^{101}-2^{100}=2^{101}-2$。

答案：
(1)$2^{5}-2^{4}=32 - 16 = 2^{4}$；
(2)$2^{n + 1}-2^{n}=2^{n}$；
(3)解：因为 $2^{2}-2^{1}=4 - 2 = 2^{1}$，$2^{3}-2^{2}=8 - 4 = 2^{2}$，…，$2^{1001}-2^{1000}=2^{1000}$，所以原式 $=2^{2}-2^{1}+2^{3}-2^{2}+\cdots+2^{1001}-2^{1000}=2^{1001}-2$。