《2025年初中必刷题七年级数学上册北师大版》

1[2025湖南衡阳质检,中]甲、乙两人同时从相距2000米的两地出发,相向而行,甲每分走45米,乙每分走55米,一只小狗以每分200米的速度与甲同时、同地、同向而行,遇到乙后立即转头向甲跑去,遇到甲后立即转头向乙跑去,…,如此循环,直到两人相遇,则这只小狗一共跑了( )

A.3000米
B.4000米
C.5000米
D.6000米

答案： B 【解析】设这只小狗一共跑了x分,则两人也走了x分. 根据题意可得$(45+55)x=2000$,解得$x=20$,则这只小狗一共跑了$20×200=4000$(米). 故选 B.

2[较难]如图,正方形ABCD的轨道上有甲、乙两个点,开始时甲在A处,乙在C处,它们沿着正方形轨道顺时针运动且同时出发,甲的速度为每秒1cm,乙的速度为每秒5cm.已知正方形轨道ABCD的边长为2cm,则乙在第2022次追上甲时的位置在( )


A.AB上
B.BC上
C.CD上
D.AD上

答案： B 【解析】设乙走x秒第一次追上甲. 根据题意,得$5x-x=4$,解得$x=1$,所以乙走1秒第1次追上甲,则乙在第1次追上甲时的位置在AB上. 设乙再走y秒第2次追上甲. 根据题意,得$5y-y=8$,解得$y=2$,所以乙再走2秒第2次追上甲,则乙在第2次追上甲时的位置在BC上. 同理,乙再走2秒第3次追上甲,则乙在第3次追上甲时的位置在CD上;乙再走2秒第4次追上甲,则乙在第4次追上甲时的位置在DA上;乙在第5次追上甲时的位置又回到AB上. 因为$2022÷4=505... 2$,所以乙在第2022次追上甲时的位置在BC上. 故选 B.

3[2024广东深圳调研,中]一艘船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港,然后调头逆流向上到达中游的乙港,共用了12时.已知这艘船的顺流速度是逆流速度的2倍,水流速度是每时2千米,甲港与乙港相距18千米,则甲、丙两港间的距离为______千米.

答案： 44 【解析】设船在静水中的速度为x千米/时. 由题意得$x+2=2(x-2)$,解得$x=6$,则顺流速度为8千米/时,逆流速度为4千米/时.设乙、丙两港相距y千米,则$\frac{18+y}{8}+\frac{y}{4}=12$,解得$y=26$,则甲、丙两港间的距离为$26+18=44$(千米). 故答案为44.

4[中]如图(1)所示是某机场的平地电梯,其示意图如图(2)所示,电梯AB的长度为120米,若两人不乘电梯在地面匀速行走,小明每分行走的路程是小红的$\frac{7}{5}$倍,且1.5分后,小明比小红多行走30米.
(1)求两人在地面上每分各行走多少米;
(2)若两人在平地电梯上从A处开始行走,电梯以30米/分的速度向前匀速行驶,两人保持原来在地面上匀速行走的速度同时在电梯上行走.当小明到达B处时,小红离B处还有多少米?

答案： 【解】
(1)设小红在地面上每分钟行走x米,则小明在地面上每分钟行走$\frac{7}{5}x$米. 依题意得$1.5×\frac{7}{5}x-1.5x=30$,解得$x=50$,则$\frac{7}{5}x=70$.答:小红在地面上每分钟行走50米,小明在地面上每分钟行走70米.
(2)由题意得,小明相对地面的前进速度为$70+30=100$(米/分),小红相对地面的前进速度为$50+30=80$(米/分). 当小明到达B处时,小红离B处还有$120-120÷100×80=24$(米).答:当小明到达B处时,小红离B处还有24米.

5[2025甘肃兰州期末,较难]如图,将一条数轴在原点O和点B处各折一下,得到一条“折线数轴”,图中点A表示-12,点B表示12,点C表示20,我们称点A和点C在数轴上相距32个单位长度,动点P从点A出发,以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动,从点O运动到点B期间速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速;同时,动点Q从点C出发,以1单位长度/秒的速度沿着数轴的负方向运动,从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍,之后也立刻恢复原速,设运动的时间为t秒.
(1)动点Q从点C运动到点A需要______秒;
(2)求P,Q两点相遇时的t值及相遇点M所对应的数是多少;
(3)求当t为何值时,A,P两点在数轴上相距的长度是C,Q两点在数轴上相距的长度的$\frac{5}{4}$倍(即P点运动的路程$=\frac{5}{4}Q$点运动的路程).

答案： 【解】
(1)动点Q从点C运动到点A所需时间为$(20-12)÷1+12÷2+12÷1=26$(秒). 故答案为26.
(2)由题可知,P,Q两点相遇在线段OB上的M处,设$OM=x$,则$12÷2+x÷1=(20-12)÷1+(12-x)÷2$,解得$x=\frac{16}{3}$,则$12÷2+x÷1=6+5\frac{1}{3}=11\frac{1}{3}$.答:P,Q两点相遇时的t值是$11\frac{1}{3}$,相遇点M所对应的数是$\frac{16}{3}$.
(3)A,P两点在数轴上相距的长度是C,Q两点在数轴上相距的长度的$\frac{5}{4}$倍有2种可能:
①动点P,Q均在线段OB上时(相遇前),$12+(t-12÷2)×1=\frac{5}{4}[8+2(t-8÷1)]$,解得$t=\frac{32}{3}$.
②动点Q在线段OA上,动点P在线段BC上时(相遇后),$12+12+2(t-18)=\frac{5}{4}[8+12+(t-14)]$,解得$t=26$.综上所述,当t为$\frac{32}{3}$或26时,A,P两点在数轴上相距的长度是C,Q两点在数轴上相距的长度的$\frac{5}{4}$倍.