《2025年初中必刷题七年级数学上册北师大版》

1[2024广西河池质检]如图所示,地面上钉着用一根彩绳围成的直角三角形,如果将直角三角形锐角顶点的一个钉子去掉,并将这根彩绳钉成一个长方形,则所钉长方形的长、宽各是多少？面积是多少？

答案： 【解】由题可知，三角形的周长为6 + 8 + 10 = 24。①当去掉顶点A的钉子时，BC为长方形的一条边，设长方形的另一条边长为x。由题意得2(x + 6) = 24，解得x = 6，则该长方形的长和宽均为6，面积为6×6 = 36。
②当去掉顶点B的钉子时，AC为长方形的一条边，设长方形的另一条边长为y。由题意得2(y + 8) = 24，解得y = 4，则该长方形的长和宽分别为8，4，面积为8×4 = 32。
答：所钉长方形的长、宽、面积分别为6，6，36或8，4，32。

2[2024福建福州质检]已知一个长方形的长和宽的比是5:1,如果长减少8cm,宽增加12cm,就变成一个正方形,则原来的长方形的面积是( )
$A.0.125m^2$
$B.0.0125m^2$
$C.0.175m^2$
$D.0.0175m^2$

答案： B 【解析】设原来的长方形的宽为x cm，则长为5x cm。根据题意得5x - 8 = x + 12，解得x = 5，则5×5 = 25(cm)，所以原来的长方形的面积是25×5 = 125(cm²)=0.0125(m²)。故选B。

3五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形,大长方形的周长是32cm,则小长方形的面积是( )

$A.8cm^2$
$B.10cm^2$
$C.12cm^2$
$D.16cm^2$

答案： C 【解析】设小长方形的宽为x cm，则长为3x cm。由题意得，(3x + 3x + 2x)×2 = 32，解得x = 2，则小长方形的长为6 cm，宽为2 cm，所以小长方形的面积是6×2 = 12(cm²)，故选C。

4[2024天津和平区期末]如图,在水平桌面上有甲、乙两个圆柱形容器,其内部底面积分别为$80cm^2,100cm^2,$且甲容器装满水,乙容器是空的.若将甲中的水全部倒入乙中,则乙中的水位高度比原先甲中的水位高度低了8cm,则甲的容积是( )
$A.1280cm^3$
$B.2560cm^3$
$C.3200cm^3$
$D.4000cm^3$

答案： C 【解析】设甲的容积为x cm³。根据题意得$\frac{x}{80}-\frac{x}{100}=8$，解得x = 3200，所以甲的容积为3200 cm³。故选C。

5一个密封的瓶子里装着一些水(如图所示),已知瓶子的底面积为$10cm^2,$请你根据图中标明的数据,计算瓶子的容积是( )
$A.80cm^3$
$B.70cm^3$
$C.60cm^3$
$D.50cm^3$

答案： C 【解析】设瓶子的容积为V cm³。依题意得V - 10×(7 - 5) = 10×4，解得V = 60。故选C。

6张老师将一个半径为4cm,高为9cm的圆柱体橡皮泥模型,重新揉成一个半径为3cm的圆柱体橡皮泥模型,此时圆柱体的高为多少呢？
(1)请画出变形前后模型的示意图,并在示意图上标注对应的已知数据；
(2)通过列方程求变形后模型的高.

答案：
【解】
(1)如图

(2)设变形后模型的高为x cm。
根据题意得$π×4^{2}×9=π×3^{2}×x$，解得x = 16。
答：变形后模型的高为16 cm。

7[2025北京门头沟区期末]在一个内部长、宽、高分别为3m、3m、80cm的长方体水箱内装满水,然后将水倒入一个底面直径是2m,高是12m的圆柱形容器中(不考虑容器厚度),问水是否会溢出？若不溢出,请求出水面离容器口的距离.(π取3.14,结果精确到0.01m)

答案： 【解】80 cm = 0.8 m，长方体水箱的容积为3×3×0.8 = 7.2(m³)，圆柱形容器的容积为$πr^{2}h=3.14×(\frac{2}{2})^{2}×12=37.68(m³)$。
因为7.2 ＜ 37.68，所以水不会溢出。
设将水倒入圆柱形容器后，水面高度为x m。
依题意得$7.2=3.14×(\frac{2}{2})^{2}×x$，
解得x≈2.29，
所以12 - x = 9.71。
关键点拨：解题的关键是读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，据此列出方程，再求解。
易错警示：解应用问题时，要认真细心，注意统一单位后再计算。
答：水不会溢出，水面离容器口的距离约为9.71 m。