《2025年初中必刷题七年级数学上册北师大版》

1 [2025 浙江杭州期中,中]小明和小红玩猜数字游戏,小明说:“你随便选定三个一位数,按下列步骤进行计算:①把第一个数乘 2;②加上 5;③把所得的和乘 5;④加上第二个数;⑤再把所得的和乘 10;⑥最后加上第三个数,只要你告诉我最后的得数,我就知道你所选的三个一位数.”若小红告诉小明最后得到的结果是 846,则小红所选的第二个一位数是 ( )

A.4
B.6
C.8
D.9

答案： D 【解析】设这三个一位数依次为a,b,c,将其按题中步骤进行计算得[(2a+5)×5+b]×10+c,整理得100a+10b+c+250,所以将得到的结果减去250后,百位是a,十位是b,个位是c.因为846-250=596,所以小红所选的第二个一位数是9.故选D.

2 [2025 山东德州期中,中]有一个数字游戏,第一步:取一个自然数 $ n_1 = 4 $,计算 $ n_1 \cdot (3n_1 + 1) $得 $ a_1 $;第二步:算出 $ a_1 $的各位数字之和得 $ n_2 $,计算 $ n_2 \cdot (3n_2 + 1) $得 $ a_2 $;第三步:算出 $ a_2 $的各位数字之和得 $ n_3 $,计算 $ n_3 \cdot (3n_3 + 1) $得 $ a_3 $;…,以此类推,则 $ a_{2024} $的值为 ( )

A.7
B.52
C.154
D.310

答案： C 【解析】因为n₁=4,所以a₁=4×(3×4+1)=52,则n₂=5+2=7,所以a₂=7×(3×7+1)=154,同理可得,a₃=310,a₄=52,…,由此可见,这列数从a₁开始按52,154,310循环.因为2024÷3=674……2,所以a₂₀₂₄=154.故选C.

3 [2025 山西吕梁期末,中]用字母表示数可以帮助我们表达、研究具有普遍意义的数量关系,有助于我们发现一些有趣的结论,并能解释其中的道理.请根据下列步骤来完成一个有趣的游戏吧!
第一步:从 1 到 9 中任选一个整数;
第二步:用这个数乘 5,再加上 1;
第三步:将第二步的结果乘 2,再加上 7;
第四步:将第三步的结果减去第一步中选择的数.
(1)若选择的数是 3,按以上步骤操作所得的两位数中,个位数字与十位数字的和是______;
(2)再换几个数按以上步骤操作,你会发现所得的两位数中,个位数字与十位数字的和______发生变化;(填“会”或“不会”)
(3)若选择的数为 $ x $,请列代数式解释(2)中的结论.(要求:不能将 1 到 9 中的整数逐个代入计算)

答案： 【解】
(1)若选择的数是3,根据题意得,(3×5+1)×2+7-3=16×2+7-3=36,则个位数字与十位数字的和是3+6=9.故答案为9.
(2)若选择的数是5,则(5×5+1)×2+7-5=54,则个位数字与十位数字的和是5+4=9;若选择的数是8,则(8×5+1)×2+7-8=81,则个位数字与十位数字的和是8+1=9;…发现:所得的两位数中,个位数字与十位数字的和不会发生变化.故答案为不会.
(3)若选择的数为x,则(5x+1)×2+7-x=9x+9=10x+9-x,则所得的两位数中,十位数字为x,个位数字为9-x,所以个位数字与十位数字的和是x+9-x=9.

4 [2025 甘肃张掖质检,中]如果一个自然数所有数位上的数字之和能被 3 整除,那么这个自然数就能被 3 整除.数学兴趣小组又发现了下列两个规律:
①个位数字是 5 的自然数能被 5 整除;
②个位数字与百位数字之和等于十位数字的三位数(自然数)能被 11 整除.
(1)请以三位数为例,用数学知识说明①的正确性;
(2)用数学知识说明②的正确性.

答案： 【解】
(1)设符合①的一个三位数的百位数字是a,十位数字是b.因为这个三位数的个位数字是5,所以这个三位数可表示为100a+10b+5,而100a+10b+5=5×20a+5×2b+5×1=5(20a+2b+1),所以个位数字是5的自然数能被5整除.
(2)设符合②的一个三位数的百位数字是m,十位数字是n,个位数字是p,所以这个三位数可表示为100m+10n+p.因为个位数字与百位数字之和等于十位数字,所以n=m+p,所以100m+10n+p=100m+10(m+p)+p=11(10m+p),所以个位数字与百位数字之和等于十位数字的三位数(自然数)能被11整除.

5 [2025 江苏南通期中,中]小明和小亮两人玩一种扑克牌游戏,规则如下:
小明背对小亮,让小亮按下列四个步骤操作:
第一步:分发左、中、右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌的张数相同;
第二步:从左边一堆拿出两张,放入中间一堆;
第三步:从右边一堆拿出一张,放入中间一堆;
第四步:左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.
这时,小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数,请你求出中间一堆牌的张数.

答案： 【解】用字母n(n≥2)表示第一步中每堆牌的张数,则第二步后左、中、右三堆牌的张数分别为n-2,n+2,n;第三步后左、中、右三堆牌的张数分别为n-2,n+3,n-1;第四步后左、中、右三堆牌的张数分别为2(n-2),(n+3)-(n-2),n-1,此时,中间一堆牌的张数为(n+3)-(n-2)=n+3-n+2=5.